Il teorema lavoro-energia afferma che il lavoro netto svolto su un oggetto è uguale alla variazione dell'energia cinetica dell'oggetto.
$$W_{rete}=\Delta K$$
Dove:
- \(W_{net}\) è il lavoro netto svolto sull'oggetto (in joule)
- \(\Delta K\) è la variazione dell'energia cinetica dell'oggetto (in joule)
Il teorema lavoro-energia può essere utilizzato per risolvere una varietà di problemi che coinvolgono il movimento degli oggetti. Ad esempio, può essere utilizzato per determinare la velocità di un oggetto dopo che ha subito l'azione di una forza, o per trovare la distanza che un oggetto percorrerà prima di fermarsi.
Dimostrazione del Teorema Lavoro-Energia
Il teorema lavoro-energia può essere dimostrato utilizzando i seguenti passaggi:
1. Considera un oggetto di massa \(m\) che si muove con velocità \(\overrightarrow{v_i}\). L'energia cinetica dell'oggetto è data da:
$$K_i=\frac{1}{2}mv_i^2$$
2. All'oggetto viene applicata una forza risultante \(\overrightarrow{F}_{net}\), che lo fa accelerare e cambiare la sua velocità in \(\overrightarrow{v_f}\). Il lavoro compiuto dalla forza risultante sull'oggetto è dato da:
$$W_{net}=\overrightarrow{F}_{net}\cdot\overrightarrow{d}$$
Dove \(\overrightarrow{d}\) è lo spostamento dell'oggetto.
3. La variazione dell'energia cinetica dell'oggetto è data da:
$$\Delta K=K_f-K_i=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2$$
4. Possiamo sostituire l'espressione del lavoro compiuto dalla forza netta nell'espressione della variazione dell'energia cinetica per ottenere:
$$W_{net}=\overrightarrow{F}_{net}\cdot\overrightarrow{d}=\Delta K=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^ 2$$
5. Questa equazione mostra che il lavoro netto svolto sull'oggetto è uguale alla variazione dell'energia cinetica dell'oggetto, il che dimostra il teorema lavoro-energia.
Esempi del Teorema Lavoro-Energia
Il teorema lavoro-energia può essere utilizzato per risolvere una varietà di problemi che coinvolgono il movimento degli oggetti. Ecco alcuni esempi:
* Esempio 1: Un oggetto di 10 kg è fermo su una superficie orizzontale. All'oggetto viene applicata una forza di 50 N per 5 secondi. Qual è la velocità dell'oggetto dopo 5 secondi?
Soluzione:
Il lavoro netto svolto sull'oggetto è:
$$W_{net}=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{d}=(50\text{ N})(5\text{ m})=250\text{ J}$$
La variazione dell'energia cinetica dell'oggetto è:
$$\Delta K=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2=\frac{1}{2}(10\text{ kg})v_f^2- 0$$
Ponendo il lavoro netto uguale alla variazione di energia cinetica, otteniamo:
$$250\text{ J}=\frac{1}{2}(10\text{ kg})v_f^2$$
Risolvendo per \(v_f\), otteniamo:
$$v_f=\sqrt{\frac{2(250\text{ J})}{10\text{ kg}}}=7,07\text{ m/s}$$
Pertanto la velocità dell'oggetto dopo 5 secondi è 7,07 m/s.
* Esempio 2: Un oggetto di 20 kg si muove alla velocità di 10 m/s. Qual è il lavoro necessario per fermare l'oggetto?
Soluzione:
La variazione dell'energia cinetica dell'oggetto è:
$$\Delta K=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2=\frac{1}{2}(20\text{ kg})(0)^ 2-\frac{1}{2}(20\text{ kg})(10\text{ m/s})^2=-1000\text{ J}$$
Il segno negativo indica che il lavoro richiesto per fermare l'oggetto è negativo, il che significa che il lavoro deve essere svolto dall'oggetto.
Pertanto, il lavoro necessario per fermare l'oggetto è 1000 J.
