Il teorema dell'equipaggiamento afferma che ogni grado di libertà di un sistema in equilibrio termico ha un'energia media di 1/2 kt, dove k è la costante di Boltzmann e T è la temperatura assoluta. Mentre questo teorema è vero per molti sistemi classici, si rompe per l'oscillatore armonico quantistico. Ecco perché:

1. Livelli di energia quantizzata:

* Nella meccanica classica, l'energia di un oscillatore armonico può assumere qualsiasi valore continuo.

* Nella meccanica quantistica, l'energia di un oscillatore armonico è quantizzata. Ciò significa che può esistere solo a livelli di energia discreti specifici, dati da:

E_n =(n + 1/2) ħω dove n =0, 1, 2, ...

* ħ è la costante di Planck ridotta

* ω è la frequenza angolare dell'oscillatore

2. Discretizzazione energetica ed eccitazione termica:

* A basse temperature, la spaziatura energetica tra questi livelli quantificati è significativa rispetto a KT. Ciò significa che il sistema è più probabile che sia nello stato fondamentale (n =0).

* All'aumentare della temperatura, il sistema può accedere a livelli di energia più elevati. Tuttavia, il passaggio da un livello di energia all'altro richiede una quantità specifica di energia e non tutti i livelli sono necessariamente popolati allo stesso modo.

3. Conseguenze per l'equipaggiamento:

* A causa della quantizzazione, l'energia di un oscillatore armonico quantistico non segue la distribuzione continua assunta dal teorema dell'equipaggiamento.

* L'energia media di un oscillatore armonico quantico a una data temperatura dipende dalla popolazione di ciascun livello di energia, che è determinata dalla distribuzione di Boltzmann.

* Questa distribuzione della popolazione non è un semplice 1/2 kt per grado di libertà come suggerirebbe il teorema dell'equipaggiamento.

4. Limite di temperatura elevata:

* A temperature molto elevate, KT diventa molto più grande della spaziatura energetica tra i livelli. In questo limite, i livelli di energia appaiono quasi continui e il teorema dell'equipaggiamento diventa una buona approssimazione.

In sintesi:

Il teorema dell'equipaggiamento non riesce per l'oscillatore armonico quantistico perché la quantizzazione dei livelli di energia impedisce una semplice distribuzione uguale di energia tra i gradi di libertà. L'energia media dell'oscillatore è influenzata dai livelli di energia discreti e dalla distribuzione di Boltzmann, portando a deviazioni dalla previsione dell'equipaggiamento, in particolare a basse temperature.