Comprensione dei concetti
* Simple Armonic Motion (SHM): Un tipo di movimento periodico in cui la forza di ripristino è proporzionale allo spostamento dall'equilibrio. Gli esempi includono una massa su una molla o un pendolo che oscilla attraverso piccoli angoli.
* Energia cinetica (KE): L'energia del movimento, data da ke =(1/2) mv², dove m è massa e V è la velocità.
* Energia potenziale (PE): L'energia immagazzinata a causa della posizione o della configurazione di un oggetto. Per una molla, PE =(1/2) kx², dove k è la costante di molla e x è lo spostamento dall'equilibrio.
Derivazione
1. Energie di equipaggiamento: Quando le energie cinetiche e potenziali sono uguali, abbiamo:
(1/2) mv² =(1/2) kx²
2. Raccolta di velocità allo spostamento: In SHM, la velocità (V) a uno spostamento (x) è correlata alla frequenza angolare (ω) e all'ampiezza (a) da:
v =ω√ (a² - x²)
3. Sostituzione per la velocità: Sostituisci questa espressione per V nell'equazione energetica:
(1/2) m (ω√ (a² - x²)) ² =(1/2) kx²
4. Semplificazione:
(1/2) mω² (a² - x²) =(1/2) kx²
mω²a² - mω²x² =kx²
5. Risoluzione per x: Riorganizzare l'equazione da risolvere per x:
x² (k + mω²) =mω²a²
x² =(mω²a²) / (k + mω²)
x =√ ((mω²a²) / (k + mω²))
6. usando ω² =k/m: Ricorda che per un sistema di massa a molla in SHM, ω² =k/m. Sostituendo questo:
x =√ ((mω²a²) / (k + k))
x =√ ((mω²a²) / (2k))
7. Risultato finale: Poiché ω² =k/m, possiamo semplificare ulteriormente:
x =√ ((m (k / m) a²) / (2k))
x =a/√2
Conclusione
Quando le energie cinetiche e potenziali di un oggetto in SHM sono uguali, lo spostamento (x) è uguale all'ampiezza (a) divisa per la radice quadrata di 2. In altre parole, l'oggetto è a circa il 70,7% del suo spostamento massimo dall'equilibrio .
