Comprensione dei concetti
* Simple Armonic Motion (SHM): Un tipo di movimento periodico in cui la forza di ripristino è proporzionale allo spostamento dall'equilibrio. Gli esempi includono una massa su una primavera o un pendolo.
* Energia cinetica (KE): L'energia del movimento, calcolata come ke =(1/2) mv², dove m è massa e V è la velocità.
* Energia potenziale (PE): Energia immagazzinata a causa della posizione o della configurazione di un oggetto. In SHM, l'energia potenziale è generalmente associata alla forza di ripristino (ad esempio l'energia potenziale della primavera).
Derivazione
1. Energia totale: L'energia meccanica totale (E) in SHM è costante ed è la somma dell'energia cinetica e potenziale:
E =ke + pe
2. Energie uguali: Quando ke =pe, possiamo riscrivere l'equazione totale di energia come:
E =2ke =2pe
3. Esprimere KE e PE in termini di spostamento:
* Ke =(1/2) mv²
* Pe =(1/2) kx², dove k è la costante di molla (o una costante di forza di ripristino simile) e x è lo spostamento dall'equilibrio.
4. Energie di equipaggiamento:
2 [(1/2) mv²] =2 [(1/2) kx²]
mv² =kx²
5. Velocità in SHM: La velocità (v) di un oggetto in SHM può essere espressa come:
v =ω√ (a² - x²) dove ω è la frequenza angolare e A è l'ampiezza dell'oscillazione.
6. Sostituzione e risoluzione: Sostituire l'espressione di velocità nell'equazione energetica:
m [ω√ (a² - x²)] ² =kx²
mω² (a² - x²) =kx²
7. Semplificazione: Riorganizzare l'equazione da risolvere per x:
mω²a² =(mω² + k) x²
x² =(mω²a²) / (mω² + k)
8. Usando la relazione tra ω e k: Ricorda che ω² =k/m. Sostituendolo nell'equazione:
x² =(mω²a²) / (mω² + mω²)
x² =(mω²a²) / (2mω²)
x² =A²/2
9. Spostamento: Prendere la radice quadrata di entrambi i lati:
X =A/√2
Conclusione
Quando le energie cinetiche e potenziali di un oggetto in un semplice movimento armonico sono uguali, lo spostamento (x) è uguale all'ampiezza (a) divisa per la radice quadrata di 2. Ciò significa che l'oggetto è in una posizione circa il 70,7% della sua posizione di equilibrio alla sua ampiezza massima.
