1. Definisci le coordinate Jacobi
Per un sistema di 4 atomi, abbiamo bisogno di tre serie di coordinate Jacobi:
* First Set:
* $ \ mathbf {r} _1 =\ mathbf {r} _2 - \ mathbf {r} _1 $ (vettoriale di collegamento atomi 1 e 2)
* $ \ mathbf {r} _1 =\ frac {m_1 \ mathbf {r} _1 + m_2 \ mathbf {r} _2} {m_1 + m_2} $ (Centro della massa degli atomi 1 e 2)
* Secondo set:
* $ \ mathbf {r} _2 =\ mathbf {r} _3 - \ mathbf {r} _1 $ (vettoriale che collega il centro della massa di atomi 1 e 2 ad atom 3)
* $ \ mathbf {r} _2 =\ frac {(m_1 + m_2) \ mathbf {r} _1 + m_3 \ mathbf {r} _3} {m_1 + m_2 + m_3} $ (centro di massa degli atomi 1, 2 e 3)
* Terzo set:
* $ \ mathbf {r} _3 =\ mathbf {r} _4 - \ mathbf {r} _2 $ (vettore che collega il centro della massa di atomi 1, 2 e 3 ad atomo 4)
* $ \ mathbf {r} _3 =\ frac {(m_1 + m_2 + m_3) \ mathbf {r} _2 + m_4 \ mathbf {r} _4} {m_1 + m_2 + m_3 + m_4} $ (centro di massa di tutti 4 atomi)
2. Esprimi l'energia cinetica in termini di coordinate Jacobi
L'energia cinetica del sistema è:
`` `
T =(1/2) m_1 v_1^2 + (1/2) m_2 v_2^2 + (1/2) m_3 v_3^2 + (1/2) m_4 v_4^2
`` `
dove v rappresenta la velocità di ciascun atomo.
Ora, dobbiamo esprimere le velocità ( v ) in termini di derivati del tempo delle coordinate Jacobi ( r e r ). Questo può essere fatto usando la regola della catena di differenziazione.
Ad esempio, per Atom 1:
`` `
v_1 =d/dt (r_1) =d/dt (r_2 - r_1) =v_2 - v_1
`` `
Allo stesso modo, è possibile esprimere le altre velocità in termini di derivati delle coordinate di Jacobi.
3. Sostituisci e semplifica
Sostituisci le espressioni per le velocità in termini di coordinate di Jacobi nell'equazione dell'energia cinetica. Dopo qualche algebra e semplificazione, otterrai:
`` `
T =(1/2) μ_1 (d/dt r_1)^2 + (1/2) μ_2 (d/dt r_2)^2 + (1/2) μ_3 (d/dt r_3)^2 + (1/2) m (d/dt r_3)^2)^2
`` `
Dove:
* μ_1 =(m_1 * m_2) / (m_1 + m_2) è la massa ridotta degli atomi 1 e 2
* μ_2 =(m_1 + m_2) * m_3 / (m_1 + m_2 + m_3) è la massa ridotta del centro di massa di atomi 1 e 2 e atomo 3
* μ_3 =(m_1 + m_2 + m_3) * m_4 / (m_1 + m_2 + m_3 + m_4) è la massa ridotta del centro di massa di atomi 1, 2 e 3 e atomo 4
* m =m_1 + m_2 + m_3 + m_4 è la massa totale del sistema
4. Esprimi come operatore di energia cinetica
L'operatore di energia cinetica in meccanica quantistica si ottiene sostituendo il momento classico con il suo equivalente meccanico quantistico:
* p =-Iħ∇
Pertanto, l'operatore di energia cinetica nelle coordinate di Jacobi diventa:
`` `
T̂ =- (ħ^2 / 2μ_1) ∇_r1^2 - (ħ^2 / 2μ_2) ∇_r2^2 - (ħ^2 / 2μ_3) ∇_r3^2 - (ħ^2 / 2m) ∇_r3^2
`` `
dove ∇_r1, ∇_r2, ∇_r3 e ∇_r3 sono gli operatori del gradiente rispetto alle coordinate Jacobi.
Punti chiave:
* Le coordinate di Jacobi separano il centro del movimento di massa dai movimenti relativi degli atomi. Ciò semplifica la descrizione del sistema e riduce la complessità dei calcoli.
* Le masse ridotte compaiono nell'operatore di energia cinetica, riflettendo il fatto che i movimenti relativi degli atomi sono influenzati dalle masse dei singoli atomi.
* L'ultimo termine nell'operatore rappresenta l'energia cinetica del centro di massa, che di solito viene ignorata nella spettroscopia molecolare in quanto è una costante per una data molecola.
Fammi sapere se desideri una spiegazione più dettagliata di qualsiasi passaggio specifico!
