Uno dei risultati più famosi in quest'area è la congettura di Keplero, che afferma che nessuna disposizione di sfere identiche può avere una densità maggiore del reticolo cubico a facce centrate (FCC). Questa congettura fu proposta per la prima volta nel 1611 da Johannes Kepler, ma fu dimostrata solo nel 1998 da Thomas Hales.
Il reticolo FCC è una disposizione tridimensionale di sfere in cui ciascuna sfera è circondata da altre 12 sfere. Questa disposizione ha una densità di circa il 74%, il che significa che circa il 26% dello spazio nel reticolo è vuoto.
La congettura di Keplero è vera anche per altri poliedri, come i cubi e gli ottaedri. Tuttavia, le disposizioni di impaccamento ottimali per questi poliedri sono più complicate del reticolo FCC.
Ad esempio, la disposizione di imballaggio ottimale per i cubi è il reticolo cubico a corpo centrato (BCC), in cui ciascun cubo è circondato da altri 8 cubi. Il reticolo BCC ha una densità di circa il 68%, il che significa che circa il 32% dello spazio nel reticolo è vuoto.
La disposizione ottimale dell'impacchettamento per gli ottaedri è il semplice reticolo cubico (SC), in cui ciascun ottaedro è circondato da altri 6 ottaedri. Il reticolo SC ha una densità di circa il 52%, il che significa che circa il 48% dello spazio nel reticolo è vuoto.
Scienziati e matematici stanno ancora studiando il problema di comprimere i poliedri in una scatola. Ci sono molte domande aperte in quest'area, come ad esempio la disposizione ottimale dell'impacchettamento per altri poliedri e la disposizione più densa possibile per miscele di poliedri diversi.
