$$\overrightarrow r=\overrightarrow{v_0}t+\frac{1}{2}\overrightarrow{g}t^2$$
dove \(\overrightarrow r\) è la posizione della palla al tempo \(t\), \(\overrightarrow{v_0}\) è la velocità iniziale della palla, \(\overrightarrow{g}\) è la accelerazione dovuta alla gravità e \(t\) è il tempo.
Questa equazione è valida per qualsiasi oggetto che si muove in due dimensioni sotto l'influenza della gravità, indipendentemente dalla direzione in cui viene lanciato. L'unica restrizione è che l'oggetto deve muoversi su un piano parallelo al suolo.
Per vedere come si applica l'equazione del moto del proiettile a una palla lanciata in una direzione arbitraria, consideriamo il seguente esempio. Supponiamo che una palla venga lanciata con una velocità iniziale di 10 m/s con un angolo di 30 gradi sopra l'orizzontale. L'equazione del moto del proiettile per questa palla è:
$$\overrightarrow r=(10\cos30^\circ)\hat{i}+(10\sin30^\circ)t\hat{j}-\frac{1}{2}gt^2\hat{j }$$
dove \(\hat{i}\) e \(\hat{j}\) sono i versori rispettivamente nelle direzioni orizzontale e verticale.
Questa equazione può essere utilizzata per calcolare la posizione della palla in qualsiasi momento \(t\). Ad esempio, all'istante \(t =1\text{ s}\), la posizione della pallina è:
$$\overrightarrow r=(10\cos30^\circ)\hat{i}+(10\sin30^\circ)(1\text{ s})\hat{j}-\frac{1}{2} (9.8\testo{ m/s}^2)(1\testo{ s})^2\hat{j}$$
$$=(8.66\text{ m})\hat{i}+(5\text{ m})\hat{j}-(4.9\text{ m})\hat{j}$$
$$=(8,66\testo{ m})\hat{i}+(0,1\testo{ m})\hat{j}$$
Pertanto la palla si trova a 8,66 m dal punto di partenza in direzione orizzontale e a 0,1 m dal punto di partenza in direzione verticale.
L'equazione del moto del proiettile può essere utilizzata per risolvere una varietà di problemi che coinvolgono il movimento degli oggetti sotto l'influenza della gravità. Ad esempio, può essere utilizzato per calcolare la portata di un proiettile, l'altezza massima di un proiettile e il tempo di volo di un proiettile.
