Ecco il guasto:
1. Coordinate polari sferiche:
* R: Distanza radiale dall'origine.
* θ: Angolo polare (angolo dall'asse z).
* φ: Angolo azimutale (angolo nel piano XY dall'asse X).
2. Velocità e accelerazione:
* Velocità:
* v_r =dr/dt (velocità radiale)
* v_θ =r dθ/dt (velocità angolare nella direzione θ)
* v_φ =r sin (θ) dφ/dt (velocità angolare nella direzione φ)
* Accelerazione:
* a_r =d²r/dt² - r (dθ/dt) ² - r sin² (θ) (dφ/dt) ² (accelerazione radiale)
* a_θ =r d²θ/dt² + 2 (dr/dt) (dθ/dt) - r sin (θ) cos (θ) (dφ/dt) ² (accelerazione angolare nella direzione θ)
* a_φ =r sin (θ) d²φ/dt² + 2 (dr/dt) sin (θ) (dφ/dt) + 2r cos (θ) (dθ/dt) (dφ/dt) (accelerazione angolare nella direzione φ)
3. La seconda legge di Newton:
* f =ma
* f_r =m a_r
* f_θ =m a_θ
* f_φ =m a_φ
4. Equazioni del movimento:
Sostituendo le espressioni per l'accelerazione nelle equazioni sopra, otteniamo le equazioni del movimento:
* Direzione radiale:
m (d²r/dt² - r (dθ/dt) ² - r sin² (θ) (dφ/dt) ²) =f_r
* Direzione dell'angolo polare:
m (r d²θ/dt² + 2 (dr/dt) (dθ/dt) - r sin (θ) cos (θ) (dφ/dt) ²) =f_θ
* Direzione dell'angolo azimutale:
m (r sin (θ) d²φ/dt² + 2 (dr/dt) sin (θ) (dφ/dt) + 2r cos (θ) (dθ/dt) (dφ/dt)) =f_φ)
5. Punti importanti:
* f_r, f_θ, f_φ: Questi rappresentano i componenti della forza netta che agiscono sulla particella rispettivamente nelle direzioni radiali, polari e azimutali.
* Risoluzione delle equazioni: Queste equazioni sono equazioni differenziali del secondo ordine e le loro sono richieste richiede le condizioni iniziali (posizione e velocità a t =0) e la forza che agisce sulla particella.
Esempio:
Per una particella che si muove sotto l'influenza di una forza centrale (come la gravità), i componenti della forza sono:
* F_r =-k/r² (dove k è una costante)
* F_θ =0
* F_φ =0
Collegandoli alle equazioni del movimento, otteniamo le equazioni specifiche per una particella che si muove sotto una forza centrale nelle coordinate polari sferiche.
Fammi sapere se desideri vedere le equazioni del movimento per campi di forza specifici o se hai altre domande!
