Ecco una rottura della sua origine:
1. Brownian Motion e Langevin Equation:
* La fondazione sta nell'osservazione del movimento browniano, il movimento apparentemente casuale di particelle sospeso in un fluido.
* Albert Einstein e Marian Smoluchowski ha spiegato questo movimento usando la meccanica statistica, dimostrando che è causato dal continuo bombardamento delle particelle da parte delle molecole del fluido circostante.
* Paul Langevin Successivamente ha formulato un'equazione differenziale (equazione di Langevin) per modellare il movimento di una particella soggetta sia a una forza deterministica (ad esempio, attrito) sia a una forza casuale.
2. Collegamento di Langevin alla probabilità:
* L'equazione di Langevin descrive la traiettoria di una singola particella. Per comprendere il comportamento collettivo di molte particelle, dobbiamo lavorare con distribuzioni di probabilità.
* Andrey Kolmogorov e Adriaan Fokker ha sviluppato indipendentemente l'equazione di Fokker-Planck applicando un approccio probabilistico all'equazione di Langevin.
3. Derivazione:
* Hanno usato l'idea di un'equazione di diffusione , che descrive la diffusione di una sostanza dovuta al movimento casuale.
* Considerando i termini di deriva e diffusione nell'equazione di Langevin, hanno derivato un'equazione differenziale parziale che regola l'evoluzione temporale della funzione di densità di probabilità.
4. Contributi chiave:
* Fokker focalizzato sul derivare l'equazione da un modello fisico specifico, mentre planck ha lavorato al suo quadro matematico.
* Kolmogorov successivamente generalizzato l'equazione per descrivere una classe più ampia di processi stocastici, portando al nome Equazione in avanti di Kolmogorov.
In sostanza, l'equazione di Fokker-Planck colpa il divario tra la descrizione deterministica del movimento delle singole particelle (equazione di Langevin) e la descrizione probabilistica del comportamento collettivo di molte particelle (funzione di densità di probabilità).
Applicazioni:
L'equazione di Fokker-Planck ha trovato applicazioni diffuse in vari campi, tra cui:
* Fisica: Motion browniano, processi di diffusione, fisica del plasma
* Chimica: Cinetica chimica, sistemi di diffusione della reazione
* Biologia: Dinamica della popolazione, espressione genica
* Finanza: Modelli di prezzi delle opzioni, prezzi delle risorse
È uno strumento potente per comprendere e prevedere il comportamento dei sistemi soggetti a fluttuazioni casuali.
