L'integrazione delle funzioni è una delle applicazioni principali del calcolo. A volte, questo è semplice, come in:

F (x) \u003d ∫ (x ^{3 + 8) dx}

In un esempio comparativamente complicato di questo tipo, puoi usare un versione della formula di base per l'integrazione di integrali indefiniti:

∫ (x ^{n + A) dx \u003d x (n + 1) /(n + 1) + An + C,}

dove A e C sono costanti.

Pertanto, per questo esempio,

∫ x ^{3 + 8 \u003d x 4/4 + 8x + C.
Integrazione delle funzioni di base della radice quadrata}

In superficie, l'integrazione di una funzione della radice quadrata è scomoda. Ad esempio, potresti essere ostacolato da:

F (x) \u003d ∫ √ [(x ^{3) + 2x - 7] dx}

Ma puoi esprimere una radice quadrata come un esponente, 1/2:

√ x ^{3 \u003d x 3 (1/2) \u003d x (3/2)}

L'integrale diventa quindi :

∫ (x ^{3/2 + 2x - 7) dx}

a cui puoi applicare la solita formula dall'alto:

\u003d x ^{(5/2) /(5/2) + 2 (x 2/2) - 7x}

\u003d (2/5) x ^{(5/2) + x 2 - 7x
Integrazione di funzioni di radice quadrata più complesse}

A volte, potresti avere più di un termine sotto il segno radicale, come in questo esempio:

F (x) \u003d ∫ [(x + 1) /√ (x - 3)] dx

Puoi usare la sostituzione u per procedere. Qui imposti u uguale alla quantità nel denominatore:

u \u003d √ (x - 3)

Risolvi questo per x quadrando entrambi i lati e sottraendo:

u ^{2 \u003d x - 3}

x \u003d u ^{2 + 3}

Questo ti permette di ottenere dx in termini di u prendendo la derivata di x:

dx \u003d (2u) du

La sostituzione con l'integrale originale restituisce

F (x) \u003d ∫ (u ^{2 + 3 + 1) /udu}

\u003d ∫ [(2u ^{3 + 6u + 2u) /u] du}

\u003d ∫ (2u ^{2 + 8) du}

Ora puoi integrare questo usando la formula di base ed esprimendo u in termini di x:

∫ (2u ^{2 + 8) du \u003d (2/3) u 3 + 8u + C}

\u003d (2/3) [√ (x - 3)] ^{3 + 8 [√ (x - 3)] + C}

\u003d (2/3) (x - 3) ^{(3/2) + 8 (x - 3) (1/2) + C}