Quando ti viene presentata una matrice in una classe di matematica o fisica, ti viene spesso chiesto di trovarne gli autovalori. Se non sei sicuro di cosa significhi o come farlo, il compito è scoraggiante e comporta molte terminologie confuse che peggiorano ulteriormente le cose. Tuttavia, il processo di calcolo degli autovalori non è troppo impegnativo se ti senti a tuo agio nel risolvere equazioni quadratiche (o polinomiali), a condizione di apprendere le basi di matrici, autovalori ed autovettori.
Matrici, autovalori ed autovettori: cosa significano
Le matrici sono matrici di numeri in cui A rappresenta il nome di una matrice generica, in questo modo:
(
1 3)
A
\u003d (4 2)
I numeri in ciascuna posizione variano e al loro posto possono esserci anche espressioni algebriche. Questa è una matrice 2 × 2, ma sono disponibili in una varietà di dimensioni e non hanno sempre un numero uguale di righe e colonne.
Gestire le matrici è diverso dal trattare con i numeri ordinari, e ci sono specifici regole per moltiplicare, dividere, sommare e sottrarre l'una dall'altra. I termini "autovalore" e "autovettore" sono usati nell'algebra della matrice per riferirsi a due quantità caratteristiche rispetto alla matrice. Questo problema di autovalore ti aiuta a capire cosa significa il termine:
A
∙ v \u003d λ ∙ v
A è una matrice generale come prima, v è un vettore e "λ is a characteristic value.", 3, [[Osserva l'equazione e nota che quando moltiplichi la matrice per il vettore v, l'effetto è di riprodurre lo stesso vettore moltiplicato per il valore λ. Questo è un comportamento insolito e guadagna i nomi speciali vettore v e quantità λ: autovettore ed autovalore. Questi sono valori caratteristici della matrice perché la moltiplicazione della matrice per l'autovettore lascia invariato il vettore a parte la moltiplicazione per un fattore di autovalore.
Come calcolare gli autovalori
Se si ha il problema di autovalore per la matrice in qualche modo, trovare l'autovalore è facile (perché il risultato sarà un vettore uguale a quello originale, tranne moltiplicato per un fattore costante - l'autovalore). La risposta si trova risolvendo l'equazione caratteristica della matrice:
det (A - λ I
) \u003d 0
Dove I è la matrice identità, che è vuota a parte una serie di 1 che scorrono diagonalmente lungo la matrice. "Det" si riferisce al determinante della matrice, che per una matrice generale:
(ab)
A
\u003d (cd)
Is dato da
det A \u003d ad –bc
Quindi l'equazione caratteristica significa:
(a - λ b)
det (A - λ < b> I
) \u003d (cd - λ) \u003d (a - λ) (d - λ) - bc \u003d 0
Come matrice di esempio, definiamo A come:
(0 1)
A
\u003d (−2 −3)
Quindi questo significa:
det (A - λ I
) \u003d (0 - λ) (- 3 - λ) - (1 × −2) \u003d 0
\u003d −λ (−3 - λ) + 2
\u003d λ < sup> 2 + 3 λ + 2 \u003d 0
Le soluzioni per λ sono gli autovalori e lo risolvi come qualsiasi equazione quadratica. Le soluzioni sono λ \u003d - 1 e λ \u003d - 2.
Suggerimenti
In casi semplici, gli autovalori sono più facili da trovare. Ad esempio, se gli elementi della matrice sono tutti zero a parte una riga sulla diagonale principale (dall'alto in alto a sinistra in basso a destra), gli elementi diagonali si trasformano in autovalori. Tuttavia, il metodo sopra funziona sempre.
Trovare autovettori
Trovare gli autovettori è un processo simile. Usando l'equazione:
(A - λ) ∙ v \u003d 0
con ciascuno degli autovalori che hai trovato a sua volta. Ciò significa:
(a - λ b) (v 1) (a - λ) v 1 + bv 2 (0) (A - λ) ∙ v \u003d (cd - λ) ∙ (v 2) \u003d cv 1 + (d - λ) v 2 \u003d (0) Puoi risolvere questo problema Hai solo bisogno del rapporto tra v
1 e v
2, perché ci saranno infinitamente molte potenziali soluzioni per v
1 e v
2.
