L'algebra spesso implica la semplificazione delle espressioni, ma alcune espressioni sono più confuse da gestire rispetto ad altre. I numeri complessi riguardano la quantità nota come i
, un numero "immaginario" con la proprietà i
\u003d √ − 1. Se devi semplicemente un'espressione che coinvolge un numero complesso, potrebbe sembrare scoraggiante, ma è un processo abbastanza semplice dopo aver appreso le regole di base.

TL; DR (Troppo lungo; Non letto)

Semplifica i numeri complessi seguendo le regole dell'algebra con i numeri complessi.
Che cos'è un numero complesso?

I numeri complessi sono definiti dalla loro inclusione del termine i, che è la radice quadrata di meno uno. Nella matematica di livello base, in realtà non esistono radici quadrate di numeri negativi, ma si presentano occasionalmente in problemi di algebra. Il modulo generale per un numero complesso mostra la loro struttura:

z

\u003d a
+ bi

Dove z
identifica il numero complesso, a
rappresenta qualsiasi numero (chiamato la parte "reale") e b
rappresenta un altro numero (chiamato "immaginario" "Parte), entrambi i quali possono essere positivi o negativi. Quindi un numero complesso di esempio è:

z

\u003d 2 −4_i_

Poiché tutte le radici quadrate di numeri negativi possono essere rappresentate da multipli di < em> i
, questo è il modulo per tutti i numeri complessi. Tecnicamente, un numero normale descrive solo un caso speciale di un numero complesso in cui b
\u003d 0, quindi tutti i numeri possono essere considerati complessi.
Regole di base per l'algebra con numeri complessi

A aggiungere e sottrarre numeri complessi, semplicemente aggiungere o sottrarre separatamente le parti reali e immaginarie. Quindi per i numeri complessi z
\u003d 2 - 4_i_ e w
\u003d 3 + 5_i_, la somma è:

z

+ w
\u003d (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

\u003d (2 + 3) + (−4 + 5) i

\u003d 5 + 1_i_ \u003d 5 + i

La sottrazione dei numeri funziona allo stesso modo:

z

- w
\u003d (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

\u003d (2 - 3) + (−4 - 5) i

\u003d −1 - 9_i_

La moltiplicazione è un'altra semplice operazione con numeri complessi, perché funziona come una normale moltiplicazione, tranne per il fatto che devi ricordare che i
^{2 \u003d −1. Quindi per calcolare 3_i_ × −4_i_:}

3_i_ × −4_i_ \u003d −12_i_ ²

Ma poiché i
^{2 \u003d −1, quindi:}

−12_i_ ^{2 \u003d −12 × −1 \u003d 12}

Con numeri complessi completi (usando z
\u003d 2 - 4_i_ e w
\u003d 3 + 5_i_ di nuovo), li moltiplichi come faresti con numeri ordinari come ( a
+ b
) ( c
+ d
), usando il metodo "first, inner, external, last" (FOIL), per dare ( a
+ b
) ( c
+ d
) \u003d ac
+ bc
+ annuncio
+ bd
. Tutto quello che devi ricordare è semplificare qualsiasi istanza di i
^{2. Quindi, ad esempio:}

z

× w
\u003d (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

\u003d ( 2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)

\u003d 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_ ²

\u003d 6 −2_i_ + 20 \u003d 26 + 2_i_
Divisione di numeri complessi

La divisione di numeri complessi comporta la moltiplicazione del numeratore e del denominatore della frazione per il coniugato complesso del denominatore. Il coniugato complesso significa semplicemente la versione del numero complesso con la parte immaginaria invertita nel segno. Quindi per z
\u003d 2 - 4_i_, il coniugato complesso z
\u003d 2 + 4_i_ e per w
\u003d 3 + 5_i_, w

\u003d 3 −5_i_. Per il problema:

z

/ w
\u003d (2 - 4_i_) /(3 + 5_i_)

Il il coniugato necessario è w
*. Dividi il numeratore e il denominatore per questo per dare:

z

/ w
\u003d (2 - 4_i_) (3 −5_i_) /( 3 + 5_i _) (3 - 5_i_)

E poi lavori come nella sezione precedente. Il numeratore indica:

(2 - 4_i_) (3 −5_i_) \u003d 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_ ²

\u003d −14 - 22_i_

E il denominatore indica:

(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) \u003d 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_ ²

\u003d 9 + 25 \u003d 34

Questo significa:

z

/ w
\u003d (−14 - 22_i_) /34

\u003d −14/34 - 22_i_ /34

\u003d −7/17 - 11_i_ /17
Semplificazione dei numeri complessi

Usa le regole sopra come necessario per semplificare le espressioni complesse. Ad esempio:

z

\u003d ((4 + 2_i_) + (2 - i
)) ÷ ((2 + 2_i _) ( 2+ i
))

Questo può essere semplificato usando la regola di addizione nel numeratore, la regola di moltiplicazione nel denominatore e quindi completando la divisione. Per il numeratore:

(4 + 2_i_) + (2 - i
) \u003d 6 + i

Per il denominatore:

(2 + 2_i _) (2+ i
) \u003d 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_ ²

\u003d (4 - 2) + 6_i_

\u003d 2 + 6_i_

Rimettendo in posizione questi dati:

z

\u003d (6 + i
) /(2 + 6_i_)

La moltiplicazione di entrambe le parti per il coniugato del denominatore porta a:

z

\u003d (6 + i
) (2 - 6_i_) /(2 + 6_i_) (2 - 6_i_)

\u003d (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_ ^{2) /(4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_ < sup> 2)}

\u003d (18-34_i_) /40

\u003d (9-17_i_) /20

\u003d 9/20 −17_i_ /20

Quindi questo significa che z
si semplifica come segue:

z

\u003d ((4 + 2_i_) + (2 - i
)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ i
)) \u003d 9/20 −17_i_ /20