• Home
  • Chimica
  • Astronomia
  • Energia
  • Natura
  • Biologia
  • Fisica
  • Elettronica
  •  science >> Scienza >  >> Altro
    Risoluzione di tre equazioni variabili

    Quando è stato introdotto per la prima volta a sistemi di equazioni, probabilmente si è imparato a risolvere un sistema di equazioni a due variabili mediante la rappresentazione grafica. Ma risolvere equazioni con tre o più variabili richiede un nuovo insieme di trucchi, vale a dire le tecniche di eliminazione o sostituzione.
    Un esempio di sistema di equazioni

    Considera questo sistema di tre equazioni a tre variabili:

  • Equazione n. 1: 2_x_ + y
    + 3_z_ \u003d 10

  • Equazione n. 2: 5_x_ - y
    - 5_z_ \u003d 2

  • Equazione n. 3: x
    + 2_y_ - z
    \u003d 7


    Risoluzione per eliminazione

    Cerca i luoghi in cui l'aggiunta di due equazioni farà sì che almeno una delle variabili si annulli automaticamente.

    1. Scegli due equazioni e Combina

      Scegli due delle equazioni e combinali per eliminare una delle variabili. In questo esempio, l'aggiunta dell'equazione n. 1 e dell'equazione n. 2 annullerà la variabile y
      , lasciandoti con la seguente nuova equazione:

      Nuova equazione # 1: 7_x_ - 2_z_ \u003d 12

    2. Ripeti il passaggio 1 con un altro set di equazioni

      Ripeti il passaggio 1, questa volta combinando un diverso set di due equazioni ma eliminando lo stesso
      variabile. Considera Equazione # 2 e Equazione # 3:

    3. Equazione # 2: 5_x_ - y
      - 5_z_ \u003d 2

    4. Equazione # 3: x
      + 2_y_ - z
      \u003d 7


      In questo caso la variabile y
      non si annulla immediatamente. Quindi, prima di sommare le due equazioni, moltiplica entrambi i lati dell'equazione n. 2 per 2. Questo ti dà:

    5. Equazione n. 2 (modificata): 10_x_ - 2_y_ - 10_z_ \u003d 4

    6. Equazione n. 3: x
      + 2_y_ - z
      \u003d 7


      Ora i termini 2_y_ si annulleranno a vicenda, dandoti un'altra nuova equazione:

      Nuova equazione # 2: 11_x_ - 11_z_ \u003d 11

    7. Elimina un'altra variabile

      Combina le due nuove equazioni che hai creato, con il obiettivo di eliminare ancora un'altra variabile:

    8. Nuova equazione n. 1: 7_x_ - 2_z_ \u003d 12

    9. Nuova equazione n. 2: 11_x_ - 11_z_ \u003d 11


      Nessuna variabile si annulla da sola, quindi dovrai modificare entrambe le equazioni. Moltiplica entrambi i lati della prima nuova equazione per 11 e moltiplica entrambi i lati della seconda nuova equazione per -2. Questo ti dà:

    10. Nuova equazione n. 1 (modificata): 77_x_ - 22_z_ \u003d 132

    11. Nuova equazione n. 2 (modificata): -22_x_ + 22_z_ \u003d -22


      Aggiungi entrambe le equazioni insieme e semplifica, il che ti dà:

      x
      \u003d 2

    12. Sostituisci il valore Indietro

      Ora che conosci il valore di x
      , puoi sostituirlo con le equazioni originali. Questo ti dà:

    13. Equazione sostituita n. 1: y
      + 3_z_ \u003d 6

    14. Equazione sostituita n. 2: - y
      - 5_z_ \u003d -8

    15. Equazione sostituita # 3: 2_y_ - z
      \u003d 5


    16. Combina due equazioni

      Scegli due delle nuove equazioni e combinale per eliminare un'altra delle variabili. In questo caso, l'aggiunta dell'equazione sostitutiva n. 1 e dell'equazione sostitutiva n. 2 fa sì che y
      si annulli bene. Dopo la semplificazione, avrai:

      z
      \u003d 1

    17. Sostituisci il valore in

      Sostituisci il valore dal passaggio 5 in qualsiasi una delle equazioni sostituite, quindi risolvi la variabile rimanente, y.
      Considera Equazione sostituita n. 3:

      Equazione sostituita n. 3: 2_y_ - z
      \u003d 5

      La sostituzione del valore per z
      ti dà 2_y_ - 1 \u003d 5 e la risoluzione per y
      ti porta a:

      y
      \u003d 3.

      Quindi la soluzione per questo sistema di equazioni è x
      \u003d 2, y
      \u003d 3 e z
      \u003d 1 .

      Risoluzione per sostituzione

      Puoi anche risolvere lo stesso sistema di equazioni usando un'altra tecnica chiamata sostituzione. Ecco di nuovo l'esempio:

    18. Equazione n. 1: 2_x_ + y
      + 3_z_ \u003d 10

    19. Equazione n. 2: 5_x_ - y
      - 5_z_ \u003d 2

    20. Equazione n. 3: x
      + 2_y_ - z
      \u003d 7

      1. Scegli una variabile e un'equazione

        Scegli una variabile e risolvi un'equazione per quella variabile. In questo caso, risolvere l'equazione n. 1 per y
        risolve facilmente:

        y
        \u003d 10 - 2_x_ - 3_z_

      2. Sostituisci quello in un altro Equazione

        Sostituisci il nuovo valore per y
        nelle altre equazioni. In questo caso, selezionare Equazione n. 2. Questo ti dà:

      3. Equazione # 2: 5_x_ - (10 - 2_x_ - 3_z_) -
        5z \u003d 2

      4. Equazione # 3: < em> x
        + 2 (10 - 2_x_ - 3z
        ) - z
        \u003d 7


        Semplifica la vita semplificando entrambi equazioni:

      5. Equazione # 2: 7_x_ - 2_z_ \u003d 12

      6. Equazione # 3: -3_x_ - 7_z_ \u003d -13

      7. Semplifica e Risolvi per un'altra variabile

        Scegli una delle restanti due equazioni e risolvi per un'altra variabile. In questo caso, selezionare Equazione n. 2 e z
        . Questo ti dà:

        z
        \u003d (7_x –_ 12) /2

      8. Sostituisci questo valore

        Sostituisci il valore dal passaggio 3 nell'equazione finale, che è # 3. Questo ti dà:

        -3_x_ - 7 [(7_x –_ 12) /2] \u003d -13

        Le cose si fanno un po 'confuse qui ma una volta semplificata, tornerai a :

        x
        \u003d 2

      9. Back-sostituisci questo valore

        "Back-sostituisci" il valore dal passaggio 4 in due- equazione variabile creata nel passaggio 3, z
        \u003d (7_x - 12) /2. Questo ti consente di risolvere _z.
        (In questo caso, z
        \u003d 1).

        Successivamente, sostituisci indietro sia il valore x
        che il < em> z
        valore nella prima equazione che hai già risolto per y
        . Questo ti dà:

        y
        \u003d 10 - 2 (2) - 3 (1)

        ... e la semplificazione ti dà il valore y
        \u003d 3.

        Controlla sempre il tuo lavoro

        Nota che entrambi i metodi per risolvere il sistema di equazioni ti hanno portato alla stessa soluzione: ( x
        \u003d 2, y
        \u003d 3, z
        \u003d 1). Controlla il tuo lavoro sostituendo questo valore in ciascuna delle tre equazioni.

  • © Scienza http://it.scienceaq.com