Se ti piacciono le stranezze matematiche, adorerai il triangolo di Pascal. Prende il nome dal matematico francese del XVII secolo Blaise Pascal e noto ai cinesi per molti secoli prima di Pascal come triangolo di Yanghui, in realtà è più di una stranezza. È una disposizione specifica dei numeri che è incredibilmente utile nella teoria dell'algebra e della probabilità. Alcune delle sue caratteristiche sono più sconcertanti e interessanti di quanto siano utili. Aiutano a illustrare la misteriosa armonia del mondo descritta da numeri e matematica.
TL; DR (troppo lungo; non letto)
Pascal ha derivato il triangolo espandendosi (x + y) ^ n per aumentare i valori di n e disporre i coefficienti dei termini in un modello triangolare. Ha molte proprietà interessanti e utili.
Costruire il triangolo di Pascal
La regola per costruire il triangolo di Pascal non potrebbe essere più semplice. Inizia con il numero uno all'apice e forma la seconda riga sotto di essa con una coppia di quelli. Per costruire la terza e tutte le righe successive, inizia inserendone una all'inizio e alla fine. Deriva ogni cifra tra questa coppia di una aggiungendo le due cifre immediatamente sopra di essa. La terza riga è quindi 1, 2, 1, la quarta riga è 1, 3, 3, 1, la quinta riga è 1, 4, 6, 4, 1 e così via. Se ogni cifra occupa una casella della stessa dimensione di tutte le altre caselle, la disposizione forma un triangolo equilatero perfetto delimitato su due lati da uno e con una base uguale in lunghezza al numero della riga. Le righe sono simmetriche in quanto leggono le stesse avanti e indietro.
Applicazione del triangolo di Pascal in Algebra
Pascal scoprì il triangolo, che era stato conosciuto per secoli ai filosofi persiani e cinesi, mentre studiava il espansione algebrica dell'espressione (x + y) n. Quando si espande questa espressione all'ennesima potenza, i coefficienti dei termini nell'espansione corrispondono ai numeri nell'ennesima riga del triangolo. Ad esempio, (x + y) 0 \u003d 1; (x + y) 1 \u003d x + y; (x + y) 2 \u003d x 2 + 2xy + y 2 e così via. Per questo motivo, i matematici a volte definiscono la disposizione il triangolo dei coefficienti binomiali. Per un gran numero di n, è ovviamente più facile leggere i coefficienti di espansione dal triangolo che calcolarli. Supponi di lanciare una moneta un certo numero di volte. Quante combinazioni di teste e code puoi ottenere? Puoi scoprirlo guardando la riga nel triangolo di Pascal che corrisponde al numero di volte in cui lanci la moneta e aggiungendo tutti i numeri in quella riga. Ad esempio, se lanci la moneta 3 volte, ci sono 1 + 3 + 3 + 1 \u003d 8 possibilità. La probabilità di ottenere lo stesso risultato tre volte di seguito è quindi di 1/8. Allo stesso modo, puoi usare il triangolo di Pascal per scoprire in quanti modi puoi combinare oggetti o scelte da un determinato set. Supponi di avere 5 palline e di voler sapere in quanti modi puoi sceglierne due. Basta andare alla quinta riga e guardare la seconda voce per trovare la risposta, che è 5. Il triangolo di Pascal contiene una serie di pattern interessanti. Eccone alcuni:
Triangolo di Pascal nella teoria della probabilità
Patterns interessanti
