Immagina di trovarti nel mezzo di un'arena perfettamente circolare. Guardi la folla lungo i lati dell'arena e vedi il tuo migliore amico in un posto e il tuo insegnante di matematica della scuola media un paio di sezioni. Qual è la distanza tra loro e te? Quanto lontano dovresti camminare per viaggiare dal posto del tuo amico al posto del tuo insegnante? Quali sono le misure degli angoli tra di voi? Queste sono tutte domande relative agli angoli centrali.

Un angolo centrale è l'angolo che si forma quando due raggi vengono disegnati dal centro del cerchio ai suoi bordi. In questo esempio, i due raggi sono le tue due linee di vista da te, al centro dell'arena, al tuo amico, e la tua linea di vista al tuo insegnante. L'angolo che si forma tra queste due linee è l'angolo centrale. È l'angolo più vicino al centro del cerchio.

Il tuo amico e il tuo insegnante sono seduti lungo la circonferenza o i bordi del cerchio. Il percorso lungo l'arena che li collega è un arco.
Trova l'angolo centrale dalla lunghezza e dalla circonferenza dell'arco

Ci sono un paio di equazioni che puoi usare per trovare l'angolo centrale. A volte otterrai la lunghezza dell'arco, la distanza lungo la circonferenza tra due punti. (Nell'esempio, questa è la distanza che dovresti percorrere intorno all'arena per raggiungere il tuo amico dal tuo insegnante.) La relazione tra angolo centrale e lunghezza dell'arco è:

(lunghezza dell'arco) ÷ circonferenza \u003d (angolo centrale) ÷ 360 °

L'angolo centrale sarà in gradi.

Questa formula ha senso, se ci pensi. La lunghezza dell'arco rispetto alla lunghezza totale attorno al cerchio (circonferenza) è la stessa proporzione dell'angolo dell'arco rispetto all'angolo totale in un cerchio (360 gradi).

Per usare questa equazione in modo efficace, devi bisogno di conoscere la circonferenza del cerchio. Ma puoi anche usare questa formula per trovare la lunghezza dell'arco se conosci l'angolo centrale e la circonferenza. Oppure, se hai la lunghezza dell'arco e l'angolo centrale, puoi trovare la circonferenza!
Trova l'angolo centrale dalla lunghezza e dal raggio dell'arco

Puoi anche usare il raggio del cerchio e dell'arco lunghezza per trovare l'angolo centrale. Chiama la misura dell'angolo centrale θ. Quindi:

θ \u003d s ÷ r, dove s è la lunghezza dell'arco e r è il raggio. θ è misurato in radianti.

Ancora una volta, puoi riorganizzare questa equazione in base alle informazioni che hai. È possibile trovare la lunghezza dell'arco dal raggio e dall'angolo centrale. Oppure puoi trovare il raggio se hai l'angolo centrale e la lunghezza dell'arco.

Se vuoi la lunghezza dell'arco, l'equazione si presenta così:

s \u003d θ * r, dove s è la lunghezza dell'arco, r è il raggio e θ è l'angolo centrale in radianti.
Teorema dell'angolo centrale

Aggiungiamo una svolta al tuo esempio in cui sei nell'arena con il tuo vicino e il tuo insegnante. Ora c'è una terza persona che conosci nell'arena: il tuo vicino di casa. E un'altra cosa: sono dietro di te. Devi girarti per vederli.

Il tuo vicino è approssimativamente dall'altra parte dell'arena rispetto al tuo amico e al tuo insegnante. Dal punto di vista del vicino, c'è un angolo formato dalla loro linea di vista verso l'amico e la loro linea di vista verso l'insegnante. Si chiama angolo inscritto. Un angolo inscritto è un angolo formato da tre punti lungo la circonferenza di un cerchio.

Il teorema dell'angolo centrale spiega la relazione tra le dimensioni dell'angolo centrale, formato da te, e l'angolo inscritto, formato dal tuo vicino. Il teorema dell'angolo centrale afferma che l'angolo centrale è il doppio dell'angolo inscritto. (Ciò presuppone che tu stia utilizzando gli stessi endpoint. Stai entrambi guardando l'insegnante e l'amico, non chiunque altro).

Ecco un altro modo per scriverlo. Chiamiamo il posto A del tuo amico, il posto del tuo insegnante B e il posto del tuo vicino C. Tu, al centro, puoi essere O.

Quindi, per tre punti A, B e C lungo la circonferenza di un cerchio e punto O al centro, l'angolo centrale ∠AOC è il doppio dell'angolo inscritto ∠ABC.

Cioè, ∠AOC \u003d 2∠ABC.

Questo ha un senso. Sei più vicino all'amico e all'insegnante, quindi a te sembrano più distanti (un angolo più ampio). Al tuo vicino dall'altra parte dello stadio, sembrano molto più vicini (un angolo più piccolo). Eccezione al teorema dell'angolo centrale

Ora spostiamo le cose in alto. Il tuo vicino dall'altra parte dell'arena inizia a muoversi! Hanno ancora una linea di vista per l'amico e l'insegnante, ma le linee e gli angoli continuano a spostarsi mentre il vicino si muove. Indovina un po ': fintanto che il vicino rimane fuori dall'arco tra l'amico e il vicino, il teorema dell'angolo centrale è ancora valido!

Ma cosa succede quando il vicino si sposta tra l'amico e l'insegnante? Ora il tuo vicino è all'interno dell'arco minore, la distanza relativamente piccola tra l'amico e l'insegnante rispetto alla distanza maggiore attorno al resto dell'arena. Quindi si raggiunge un'eccezione al teorema dell'angolo centrale.

L'eccezione al teorema dell'angolo centrale afferma che quando il punto C, il vicino, si trova all'interno dell'arco minore, l'angolo inscritto è il supplemento di metà dell'angolo centrale . (Ricorda che un angolo e il suo supplemento si sommano a 180 gradi.)

Quindi: angolo inscritto \u003d 180 - (angolo centrale ÷ 2)

Oppure: ∠ABC \u003d 180 - (∠AOC ÷ 2)
Visualizza

Math Open Reference ha uno strumento per visualizzare il teorema dell'angolo centrale e la sua eccezione. Trascina il "vicino" in tutte le diverse parti del cerchio e osserva gli angoli cambiare. Provalo se vuoi una pratica visiva o extra!