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    Come trovare i punti di svolta di un polinomio

    Un polinomio è un'espressione che si occupa di poteri decrescenti di 'x', come in questo esempio: 2X ^ 3 + 3X ^ 2 - X + 6. Quando un polinomio di grado due o superiore è tracciato, produce un curva. Questa curva può cambiare direzione, dove inizia come una curva crescente, quindi raggiunge un punto alto dove cambia direzione e diventa una curva verso il basso. Viceversa, la curva può diminuire fino a un punto basso, al punto in cui inverte la direzione e diventa una curva crescente. Se il grado è abbastanza alto, ci possono essere molti di questi punti di svolta. Ci possono essere tanti punti di svolta di uno in meno del grado - la dimensione del più grande esponente - del polinomio.

    Trova la derivata del polinomio. Questo è un polinomio più semplice - un grado in meno - che descrive come cambia il polinomio originale. La derivata è zero quando il polinomio originale è a un punto di svolta - il punto in cui il grafico non sta né aumentando né diminuendo. Le radici della derivata sono i luoghi in cui il polinomio originale ha punti di svolta. Poiché la derivata ha un grado in meno rispetto al polinomio originale, ci sarà un punto di svolta inferiore - al massimo - del grado del polinomio originale.

    Forma la derivata di un termine polinomiale per termine. Lo schema è questo: bX ^ n diventa bnX ^ (n - 1). Applicare il modello a ciascun termine tranne il termine costante. Le derivate esprimono il cambiamento e le costanti non cambiano, quindi la derivata di una costante è zero. Ad esempio, le derivate di X ^ 4 + 2X ^ 3 - 5X ^ 2 - 13X + 15 sono 4X ^ 3 + 6X ^ 2 - 10X - 13. Il 15 scompare perché la derivata di 15, o qualsiasi costante, è zero. La derivata 4X ^ 3 + 6X ^ 2 - 10X - 13 descrive come cambiano X ^ 4 + 2X ^ 3 - 5X ^ 2 - 13X + 15.

    Trova i punti di svolta di un polinomio di esempio X ^ 3 - 6X ^ 2 + 9X - 15. Prima trova la derivata applicando il termine termine per termine per ottenere il polinomiale derivato 3X ^ 2 -12X + 9. Imposta la derivata su zero e il fattore per trovare le radici. 3X ^ 2 -12X + 9 = (3X - 3) (X - 3) = 0. Ciò significa che X = 1 e X = 3 sono radici di 3X ^ 2 -12X + 9. Ciò significa che il grafico di X ^ 3 - 6X ^ 2 + 9X - 15 cambierà direzione quando X = 1 e quando X = 3.

    Suggerimento

    Risparmierà un sacco di tempo se si calcolano termini comuni prima di iniziare la ricerca di punti di svolta. Per esempio. il polinomio 3X ^ 2 -12X + 9 ha esattamente le stesse radici di X ^ 2 - 4X + 3. Factoring del 3 semplifica tutto.

    Avviso

    Il grado della derivata dà il numero massimo di radici Nel caso di radici multiple o radici complesse, la derivata impostata su zero potrebbe avere meno radici, il che significa che il polinomio originale potrebbe non cambiare direzione quante volte ci si potrebbe aspettare. Ad esempio, l'equazione Y = (X - 1) ^ 3 non ha punti di svolta.

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