Un puzzle offre una visuale semplice di una tassellatura che potremmo incontrare comunemente. Hemera/Thinkstock Studiamo la matematica per la sua bellezza, la sua eleganza e la sua capacità di codificare i modelli intessuti nel tessuto dell'universo. All'interno delle sue cifre e formule, il secolare percepisce l'ordine e il religioso coglie echi lontani del linguaggio della creazione. La matematica raggiunge il sublime; A volte, come con le tassellature, sorge all'art.
tassellazioni -- mosaici senza interruzioni di forme definite -- appartengono a una razza di rapporti, costanti e modelli che ricorrono in tutta l'architettura, si rivelano al microscopio e si irradiano da ogni favo e girasole. Scegli un numero qualsiasi di equazioni in geometria, fisica, Probabilità e statistica, anche la geomorfologia e la teoria del caos, e troverai pi (π) situato come una pietra angolare. Il numero di Eulero (e) alza ripetutamente la testa nel calcolo, calcoli del decadimento radioattivo, formule di interesse composto e alcuni casi dispari di probabilità. Il rapporto aureo (φ) ha costituito la base dell'arte, design, l'architettura e la musica molto prima che la gente la scoprisse definivano anche le disposizioni naturali di foglie e steli, ossatura, arterie e girasoli, o abbinato al ciclo di clock delle onde cerebrali [fonti:Padovan, Weiss, Roop]. Ha anche una relazione con un altro modello perenne preferito, la successione di Fibonacci, che produce la propria progressione di piastrellatura unica.
Scienza, anche la natura e l'arte traboccano di tassellazioni. Mi piace π, e e , esempi di questi schemi ripetuti ci circondano ogni giorno, dai marciapiedi mondani, sfondi, puzzle e pavimenti piastrellati alla grande arte dell'artista grafico olandese M.C. Escher, o le piastrelle mozzafiato della fortificazione moresca del XIV secolo, l'Alhambra, a Granata, Spagna. Infatti, la parola "tassellazione" deriva da tessella , il diminutivo della parola latina tessera , Un individuo, tipicamente quadrato, piastrella in un mosaico. Tessera a sua volta può derivare dalla parola greca tessere , che significa quattro.
Matematica, la scienza e la natura dipendono da modelli utili come questi, qualunque sia il loro significato. Al di là della bellezza trascendente di un mosaico o di un'incisione, le tassellazioni trovano applicazioni in tutta la matematica, astronomia, biologia, botanica, ecologia, computer grafica, scienza dei materiali e una varietà di simulazioni, compresi i sistemi stradali.
In questo articolo, ti mostreremo cosa sono questi mosaici matematici, che tipo di simmetria possono possedere e quali tassellazioni speciali matematici e scienziati tengono nella loro cassetta degli attrezzi dei trucchi per la risoluzione dei problemi.
Primo, diamo un'occhiata a come costruire una tassellatura.
Le tassellazioni spaziano da quelle di base a quelle da capogiro. I più semplici sono costituiti da un'unica forma che copre un piano bidimensionale senza lasciare spazi vuoti. Da li, il cielo è il limite, da modelli complessi di più forme irregolari a solidi tridimensionali che si incastrano per riempire lo spazio o dimensioni anche più elevate.
Tre forme geometriche regolari tessellano tra loro:triangoli equilateri, quadrati ed esagoni. Lo fanno anche altre forme a quattro lati, compresi rettangoli e romboidi (diamanti). Per estensione, i triangoli non equilateri si affiancano senza soluzione di continuità se posizionati uno contro l'altro, creare parallelogrammi. Abbastanza strano, esagoni di qualsiasi forma tassellati se i loro lati opposti sono uguali. Perciò, qualsiasi forma a quattro lati può formare un mosaico senza spazi se posizionata uno contro l'altro, facendo un esagono.
Puoi anche tassellare un piano combinando poligoni regolari, o mescolando poligoni regolari e semiregolari in particolari disposizioni. I poligoni sono forme bidimensionali costituite da segmenti di linea, come triangoli e rettangoli. I poligoni regolari sono casi speciali di poligoni in cui tutti i lati e tutti gli angoli sono uguali. Triangoli e quadrati equilateri sono buoni esempi di poligoni regolari.
tutte tassellazioni, anche quelli formosi e complessi come M.C. di Escher, iniziare con una forma che si ripete senza spazi vuoti. Il trucco è alterare la forma, diciamo, un romboide - in modo che si adatti ancora perfettamente insieme. Un approccio semplice consiste nel tagliare una forma da un lato e incollarla su un altro. Questo produce una forma che si adatta a se stessa e si impila facilmente. Più lati alteri, più interessante diventa il modello.
Se ti senti più avventuroso, prova a scarabocchiare una linea ondulata su un lato, e quindi copiando la stessa linea sul lato opposto. Questo approccio potrebbe richiedere alcune modifiche per far sì che i pezzi si incastrino correttamente. Per esempio, se il tuo poligono ha un numero dispari di lati, potresti voler dividere il lato rimanente a metà e quindi disegnare forme speculari su entrambi i lati della divisione. Questo crea un lato che si intreccia con se stesso.
Tenta la fortuna con due o più forme che tassellano. Puoi farlo geometricamente, o semplicemente riempi la pagina con qualsiasi forma che ti piace, e poi immagina un'immagine che si adatti allo spazio negativo. Un metodo correlato prevede il riempimento di una forma a tassellatura nota con forme più piccole. Ci sono anche tassellazioni frattali -- modelli di forme che si incastrano perfettamente e sono auto-similari su più scale.
Non preoccuparti se i tuoi risultati iniziali sembrano un po' insensati. Ci sono voluti anni a Escher per padroneggiare questi folli mosaici, e anche lui aveva abbinamenti che non sempre avevano senso.
Ora che abbiamo gettato le basi, diamo un'occhiata ad alcune delle tassellazioni speciali che i ricercatori usano per risolvere complicati problemi teorici e applicati.
M.C. EscherNessun talento per la tassellatura eclissa l'artista grafico olandese M.C. Escher. Un litografo, taglialegna e incisore, Escher si interessò alle forme sublimi dopo aver visitato l'Alhambra da giovane [fonte:Università di St. Andrews].
Sebbene non sia il primo a spostare le tassellazioni dalle forme geometriche a quelle organiche e fantastiche, Escher si è affermato come il suo praticante preminente. Il suo fantasioso, opere d'arte abbaglianti e spesso impossibili rimangono molto popolari oggi.
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Questa tassellatura Voronoi sta esaminando la densità di fotoni di una particolare regione. Ogni punto nella cella rappresenta un fotone. Immagine per gentile concessione della NASA Mentre i ricercatori esploravano le tassellazioni e le definivano matematicamente, hanno identificato alcuni tipi che eccellono nel risolvere problemi difficili. Un esempio popolare è il tassellatura Voronoi ( VT ) noto anche come tassellazione di Dirichlet o poligoni di Thiessen.
Un VT è una tassellatura basata su un insieme di punti, come stelle su un grafico. Ogni punto è racchiuso da una cella poligonale, una forma chiusa formata da segmenti di linea, che racchiude l'intera area più vicina al suo punto di definizione rispetto a qualsiasi altro punto. I confini delle celle (o segmenti di poligono) sono equidistanti da due punti; nodi, dove si incontrano tre o più cellule, sono equidistanti da tre o più punti di definizione. I TV possono anche tassellare dimensioni superiori.
Il modello VT risultante assomiglia al tipo di nido d'ape che un'ape potrebbe costruire dopo un'intera notte in cui si piega il nettare. Ancora, ciò che manca in bellezza a queste cellule storte, hanno più che compensato in valore.
Come altre tassellazioni, I VT compaiono ripetutamente in natura. È facile capire perché:qualsiasi fenomeno che coinvolga sorgenti puntiformi che crescono insieme a un ritmo costante, come spore di lichene su una roccia, produrrà una struttura simile a VT. Collezioni di bolle collegate formano VT tridimensionali, una somiglianza che i ricercatori sfruttano quando modellano le schiume.
I VT forniscono anche un modo utile per visualizzare e analizzare i modelli di dati. I dati spaziali strettamente raggruppati risalteranno su un VT come aree dense di cellule. Gli astronomi usano questa qualità per aiutarli a identificare gli ammassi di galassie.
Poiché un processore di un computer può costruire un VT al volo da dati sorgente puntiformi e una serie di semplici istruzioni, l'utilizzo di VT consente di risparmiare memoria e potenza di elaborazione, qualità vitali per la generazione di grafica computerizzata all'avanguardia o per la simulazione di sistemi complessi. Riducendo i calcoli richiesti, I VT aprono la porta a ricerche altrimenti impossibili, come il ripiegamento delle proteine, modellazione cellulare e simulazione tissutale.
Un parente stretto del VT, il Tassellazione Delaunay vanta anche una varietà di usi. Per fare una tassellatura Delaunay, iniziare con un VT, e quindi tracciare linee tra i punti che definiscono la cella in modo tale che ogni nuova linea intersechi una linea condivisa di due poligoni Voronoi. Il reticolo risultante di triangoli paffuti fornisce una struttura utile per semplificare la grafica e il terreno.
Matematici e statistici usano le tassellazioni di Delaunay per rispondere a domande altrimenti incalcolabili, come risolvere un'equazione per ogni punto nello spazio. Invece di tentare questo calcolo infinito, calcolano una soluzione per ogni cella di Delaunay.
Nel suo 27 gennaio, 1921, discorso all'Accademia Prussiana delle Scienze di Berlino, Einstein ha detto, "Per quanto le leggi della matematica si riferiscano alla realtà, non sono certi; e per quanto ne sono certi, non si riferiscono alla realtà." Chiaramente, approssimazioni tassellate non sono perfette. Tuttavia, consentono il progresso riducendo problemi altrimenti ingombranti a una forma gestibile dall'attuale potenza di calcolo. Più di quello, ci ricordano la bellezza e l'ordine sottostanti del cosmo.
Simmetria spaventosaTutti i piani bidimensionali con schemi ripetitivi rientrano in uno dei 17 "gruppi di sfondi" che descrivono i loro tipi di simmetria (sebbene non tutte le tassellazioni siano simmetriche) [fonte:Joyce]. Le quattro categorie principali includono:
I famosi mosaici dell'Alhambra presentano 13 gruppi di simmetria. L'arte egizia ne usava 12 [fonti:Grünbaum].
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