Se si conoscono due punti che ricadono su una particolare curva esponenziale, è possibile definire la curva risolvendo la funzione esponenziale generale utilizzando quei punti. In pratica, questo significa sostituire i punti con y e x nell'equazione y \u003d ab ^{x. La procedura è più semplice se il valore x per uno dei punti è 0, il che significa che il punto si trova sull'asse y. Se nessuno dei due punti ha un valore x pari a zero, il processo di risoluzione per xey è un po 'più complicato.
Perché le funzioni esponenziali sono importanti}

Molti sistemi importanti seguono schemi esponenziali di crescita e decadimento. Ad esempio, il numero di batteri in una colonia di solito aumenta in modo esponenziale e la radiazione ambientale nell'atmosfera a seguito di un evento nucleare di solito diminuisce in modo esponenziale. Prendendo dati e disegnando una curva, gli scienziati sono in una posizione migliore per fare previsioni.
Da una coppia di punti a un grafico

Qualsiasi punto su un grafico bidimensionale può essere rappresentato da due numeri, che di solito sono scritti nella forma (x, y), dove x definisce la distanza orizzontale dall'origine e y rappresenta la distanza verticale. Ad esempio, il punto (2, 3) è due unità a destra dell'asse y e tre unità sopra l'asse x. D'altra parte, il punto (-2, -3) è di due unità a sinistra dell'asse y. e tre unità sotto l'asse x.

Se hai due punti, (x _{1, y 1) e (x 2, y 2), tu può definire la funzione esponenziale che passa attraverso questi punti sostituendoli nell'equazione y \u003d ab ^{x e risolvendo ae b. In generale, è necessario risolvere questa coppia di equazioni:}}

y _{1 \u003d ab ^{x1 e y 2 \u003d ab x2,.}}

In in questo modulo, la matematica sembra un po 'complicata, ma sembra meno dopo aver fatto alcuni esempi.
Un punto sull'asse X

Se uno dei valori x - dì x _{1 - è 0, l'operazione diventa molto semplice. Ad esempio, risolvendo l'equazione per i punti (0, 2) e (2, 4) si ottiene:}

2 \u003d ab ^{0 e 4 \u003d ab 2. Poiché sappiamo che b 0 \u003d 1, la prima equazione diventa 2 \u003d a. Sostituendo a nella seconda equazione si ottiene 4 \u003d 2b 2, che semplifichiamo in b 2 \u003d 2, oppure b \u003d radice quadrata di 2, che equivale a circa 1,41. La funzione di definizione è quindi y \u003d 2 (1.41) x.
Nessuno dei due punti sull'asse X}

Se nessuno dei due valori di x è zero, la soluzione della coppia di equazioni è leggermente più complessa. Henochmath ci guida attraverso un semplice esempio per chiarire questa procedura. Nel suo esempio, ha scelto la coppia di punti (2, 3) e (4, 27). Questo produce la seguente coppia di equazioni:

27 \u003d ab ⁴

3 \u003d ab ²

Se dividi la prima equazione per la seconda, ottieni

9 \u003d b ²

quindi b \u003d 3. È possibile che anche b sia uguale a -3, ma in questo caso supponiamo che sia positivo.

Puoi sostituire questo valore con b in entrambe le equazioni per ottenere a. È più facile usare la seconda equazione, quindi:

3 \u003d a (3) ^{2 che può essere semplificato in 3 \u003d a9, a \u003d 3/9 o 1/3.}

L'equazione che attraversa questi punti può essere scritta come y \u003d 1/3 (3) ^{x.
Un esempio dal mondo reale}

Dal 1910, la crescita della popolazione umana è stata esponenziale, e tracciando una curva di crescita, gli scienziati sono in una posizione migliore per prevedere e pianificare il futuro. Nel 1910, la popolazione mondiale era di 1,75 miliardi e nel 2010 era di 6,87 miliardi. Prendendo 1910 come punto di partenza, questo dà la coppia di punti (0, 1,75) e (100, 6,87). Poiché il valore x del primo punto è zero, possiamo facilmente trovare a.

1.75 \u003d ab ^{0 o a \u003d 1.75. Collegare questo valore, insieme a quelli del secondo punto, nell'equazione esponenziale generale produce 6,87 \u003d 1,75 b 100, che fornisce il valore di b come centesima radice di 6,87 /1,75 o 3,93. Quindi l'equazione diventa y \u003d 1,75 (centesima radice di 3,93) x. Anche se ci vuole più di una semplice regola per farlo, gli scienziati possono usare questa equazione per proiettare i numeri della popolazione futura per aiutare i politici nel presente a creare politiche appropriate.}