In matematica, una funzione è una regola che mette in relazione ogni elemento in un set, chiamato dominio, esattamente con un elemento in un altro set, chiamato intervallo. Su un asse x-y, il dominio è rappresentato sull'asse x (asse orizzontale) e il dominio sull'asse y (asse verticale). Una regola che collega un elemento nel dominio a più di un elemento nell'intervallo non è una funzione. Questo requisito significa che, se si rappresenta graficamente una funzione, non è possibile trovare una linea verticale che attraversi il grafico in più di un punto.

TL; DR (troppo lungo; non letto)

Una relazione è una funzione solo se mette in relazione ciascun elemento nel suo dominio con un solo elemento nell'intervallo. Quando si traccia una rappresentazione grafica di una funzione, una linea verticale la interseca in un solo punto.
Rappresentazione matematica

I matematici di solito rappresentano le funzioni con le lettere "f (x)", anche se qualsiasi altra lettera funziona altrettanto bene . Leggi le lettere come "f di x". Se scegli di rappresentare la funzione come g (y), la leggerai come "g di y". L'equazione per la funzione definisce la regola in base alla quale il valore di input x viene trasformato in un altro numero. Ci sono un numero infinito di modi per farlo. Ecco tre esempi:

f (x) \u003d 2x

g (y) \u003d y ^{2 + 2y + 1}

p (m) \u003d 1 /√ (m - 3)
Determinazione del dominio

L'insieme di numeri per cui la funzione "funziona" è il dominio. Può trattarsi di tutti i numeri o può essere un insieme specifico di numeri. Il dominio può anche essere composto da tutti i numeri tranne uno o due per i quali la funzione non funziona. Ad esempio, il dominio per la funzione f (x) \u003d 1 /(2-x) è tutti i numeri tranne 2, perché quando si immettono due, il denominatore è 0 e il risultato non è definito. Il dominio per 1 /(4 - x ^{2), d'altra parte, è tutti i numeri tranne +2 e -2 perché il quadrato di entrambi questi numeri è 4.}

Puoi anche identificare il dominio di una funzione guardando il suo grafico. Partendo dall'estrema sinistra e spostandosi a destra, traccia le linee verticali attraverso l'asse x. Il dominio è tutti i valori di x per i quali la linea interseca il grafico.
Quando una relazione non è una funzione?

Per definizione, una funzione mette in relazione ogni elemento nel dominio con un solo elemento nel gamma. Ciò significa che ogni linea verticale tracciata attraverso l'asse x può intersecare la funzione in un solo punto. Questo funziona per tutte le equazioni lineari e le equazioni di potenza superiore in cui solo il termine x viene elevato a un esponente. Non funziona sempre per le equazioni in cui entrambi i termini xey sono elevati a una potenza. Ad esempio, x ^{2 + y 2 \u003d a 2 definisce un cerchio. Una linea verticale può intersecare un cerchio in più di un punto, quindi questa equazione non è una funzione.}

In generale, una relazione f (x) \u003d y è una funzione solo se, per ogni valore di x che ci si collega, si ottiene un solo valore per y. A volte l'unico modo per capire se una determinata relazione è una funzione o no è provare vari valori per x per vedere se producono valori univoci per y.

Esempi: le seguenti equazioni definiscono le funzioni?

y \u003d 2x +1 Questa è l'equazione di una linea retta con pendenza 2 e y-intercetta 1, quindi è una funzione.

y2 \u003d x + 1 Let x \u003d 3. Il valore per y può quindi essere ± 2, quindi NON è una funzione.

y ^{3 \u003d x 2 Indipendentemente dal valore impostato per x, otterremo un solo valore per y, quindi questa è una funzione.}

y ^{2 \u003d x 2 Poiché y \u003d ± √x 2, NON È una funzione.}