Ogni studente di algebra di livello superiore deve imparare a risolvere equazioni quadratiche. Questi sono un tipo di equazione polinomiale che include una potenza di 2 ma nessuna superiore, e hanno la forma generale: ax
<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0. Puoi risolverli usando la formula dell'equazione quadratica, fattorizzando o completando il quadrato.</sup>

TL; DR (troppo lungo; non letto)

Primo sguardo a una fattorizzazione per risolvere l'equazione. Se non ce n'è uno ma il coefficiente b
è divisibile per 2, completa il quadrato. Se nessuno dei due approcci è facile, usa la formula dell'equazione quadratica.
Utilizzo della fattorizzazione per risolvere l'equazione

La fattorizzazione sfrutta il fatto che il lato destro dell'equazione quadratica standard è uguale a zero. Ciò significa che se si può dividere l'equazione in due termini tra parentesi moltiplicati tra loro, è possibile elaborare le soluzioni pensando a cosa renderebbe ogni parentesi uguale a zero. Per fare un esempio concreto:

x

^{2 + 6_x_ + 9 \u003d 0}

Confronta questo con il modulo standard:

ax

<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0</sup>

Nell'esempio, < em> a
\u003d 1, b
\u003d 6 e c
\u003d 9. La sfida del factoring è trovare due numeri che si sommano per dare il numero nella b Cerca e moltiplica insieme per ottenere il numero nel posto per c
.

Quindi, rappresentando i numeri per d
e e
, stai cercando numeri che soddisfino:

d
+ e
\u003d b

O in questo caso, con b
\u003d 6:

d
+ e
\u003d 6

E

d
× e
\u003d c

O in questo caso, con c
\u003d 9:

d
× e
\u003d 9

Concentrati sulla ricerca di numeri che sono fattori di c
, quindi aggiungili insieme per vedere se sono uguali a b
. Quando hai i tuoi numeri, inseriscili nel seguente formato:

( x
+ d
) ( x
+ e
)

Nell'esempio sopra, sia d
che e
sono 3:

x

<sup>2 + 6_x_ + 9 \u003d ( x
+ 3) ( x
+ 3) \u003d 0</sup>

Se moltiplichi le parentesi, " Finirò di nuovo con l'espressione originale e questa è una buona pratica per verificare la tua fattorizzazione. Puoi eseguire questo processo (moltiplicando a turno la prima, interna, esterna e poi le ultime parti delle parentesi - vedi Risorse per maggiori dettagli) per vederlo al contrario:

( x
+ 3) ( x
+ 3) \u003d ( x
× x
) + (3 × x
) + ( x
× 3) + (3 × 3)

\u003d x
^{2 + 3_x_ + 3_x_ + 9}

\u003d x

^{2 + 6_x_ + 9}

La fattorizzazione esegue efficacemente questo processo al contrario, ma può essere difficile trovare il modo giusto di fattorizzare l'equazione quadratica, e questo il metodo non è ideale per ogni equazione quadratica per questo motivo. Spesso devi indovinare una fattorizzazione e poi verificarla.

Il problema ora è far sì che entrambe le espressioni tra parentesi risultino uguali a zero attraverso la scelta del valore per x
. Se una parentesi è uguale a zero, l'intera equazione è uguale a zero e hai trovato una soluzione. Guarda l'ultimo stadio [( x
+ 3) ( x
+ 3) \u003d 0] e vedrai che l'unica volta che le parentesi vengono a zero è se x
\u003d −3. Nella maggior parte dei casi, tuttavia, le equazioni quadratiche hanno due soluzioni.

La fattorizzazione è ancora più impegnativa se una
non è uguale a una, ma inizialmente concentrarsi su casi semplici è meglio.
Completamento del quadrato per risolvere l'equazione

Il completamento del quadrato consente di risolvere equazioni quadratiche che non possono essere facilmente fattorizzate. Questo metodo può funzionare per qualsiasi equazione quadratica, ma alcune equazioni si adattano più di altre. L'approccio prevede di trasformare l'espressione in un quadrato perfetto e risolverlo. Un quadrato perfetto generico si espande in questo modo:

( x
+ d
) ^{2 \u003d x
2 + 2_dx_ + d
2}

Per risolvere un'equazione quadratica completando il quadrato, ottieni l'espressione nella forma sul lato destro di sopra. Dividi prima il numero nella posizione b per 2, quindi piazza il risultato. Quindi per l'equazione:

x

^{2 + 8_x_ \u003d 0}

Il coefficiente b
\u003d 8, quindi b
÷ 2 \u003d 4 e ( b
÷ 2) ^{2 \u003d 16.}

Aggiungi ad entrambi i lati per ottenere:

x

^{2 + 8_x_ + 16 \u003d 16}

Nota che questo modulo corrisponde alla forma quadrata perfetta, con d
\u003d 4, quindi 2_d_ \u003d 8 e d
^{2 \u003d 16. Ciò significa che:}

x

<sup>2 + 8_x_ + 16 \u003d ( x
+ 4) 2</sup>

Inseriscilo nell'equazione precedente per ottenere:

( x
+ 4) ^{2 \u003d 16}

Ora risolvi l'equazione per x
. Prendi la radice quadrata di entrambi i lati per ottenere:

x

+ 4 \u003d √16

Sottrai 4 da entrambi i lati per ottenere:

x

\u003d √ (16) - 4

La radice può essere positiva o negativa e prendere la radice negativa dà:

x

\u003d −4 - 4 \u003d −8

Trova l'altra soluzione con la radice positiva:

x

\u003d 4 - 4 \u003d 0

Pertanto l'unica soluzione diversa da zero è −8. Verifica questo con l'espressione originale per confermare.
Utilizzo della formula quadratica per risolvere l'equazione

La formula dell'equazione quadratica sembra più complicata rispetto agli altri metodi, ma è il metodo più affidabile e puoi usarlo su qualsiasi equazione quadratica. L'equazione usa i simboli dell'equazione quadratica standard:

ax

<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0</sup>

E afferma che:

x

\u003d [- b

± √ ( b
^{2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_}

Inserisci i numeri appropriati nei loro posti e lavora attraverso la formula da risolvere, ricordando di provare sia a sottrarre sia ad aggiungere il termine radice quadrata e annota entrambe le risposte. Per il seguente esempio:

x

^{2 + 6_x_ + 5 \u003d 0}

Hai a
\u003d 1, b
\u003d 6 e c
\u003d 5. Quindi la formula fornisce:

x

\u003d [−6 ± √ (6 ^{2 - 4 × 1 × 5)] ÷ 2 × 1}

\u003d [−6 ± √ (36-20)] ÷ 2

\u003d [−6 ± √ (16)] ÷ 2

\u003d (−6 ± 4) ÷ 2

Prendendo il segno positivo si ottiene:

x

\u003d (−6 + 4) ÷ 2

\u003d −2 ÷ 2 \u003d −1

E prendere il segno negativo dà:

x
\u003d (−6 - 4) ÷ 2

\u003d −10 ÷ 2 \u003d −5

Quali sono le due soluzioni per l'equazione.
Come determinare il metodo migliore risolvere equazioni quadratiche

Cerca una fattorizzazione prima di provare qualcos'altro. Se riesci a individuarne uno, questo è il modo più rapido e semplice per risolvere un'equazione quadratica. Ricorda che stai cercando due numeri che si sommano al coefficiente b
e si moltiplicano per dare il coefficiente c
. Per questa equazione:

x

^{2 + 5_x_ + 6 \u003d 0}

Puoi individuare quel 2 + 3 \u003d 5 e 2 × 3 \u003d 6, quindi:

x

<sup>2 + 5_x_ + 6 \u003d ( x
+ 2) ( x
+ 3) \u003d 0</sup>

E x
\u003d −2 o x
\u003d −3.

Se non riesci a vedere una fattorizzazione, controlla se il coefficiente b
è divisibile per 2 senza ricorrere alle frazioni. Se lo è, completare il quadrato è probabilmente il modo più semplice per risolvere l'equazione.

Se nessuno dei due approcci sembra adatto, usa la formula. Questo sembra l'approccio più difficile, ma se sei in un esame o altrimenti spinto per il tempo, può rendere il processo molto meno stressante e molto più veloce.