Il sistema dei numeri reali, spesso indicato con R, comprende tutti i numeri reali. I numeri reali sono quelli che possono essere espressi su una linea numerica e contengono tutti i numeri razionali (numeri che possono essere espressi come frazioni) e numeri irrazionali (numeri che non possono essere espressi come frazioni).

1. Numeri razionali (ℚ):

I numeri razionali sono numeri che possono essere scritti come quoziente o rapporto di due numeri interi. Ad esempio, 1/2, 3/5 e -1/4 sono numeri razionali. Ogni numero razionale può essere rappresentato come un decimale con un numero finito di cifre o con uno schema ripetuto di cifre.

2. Numeri irrazionali (𝕀):

I numeri irrazionali sono numeri reali che non possono essere scritti come quoziente di due numeri interi. Hanno un numero infinito di cifre non ripetitive nella loro rappresentazione decimale. Gli esempi includono √2, π (il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro) ed e (la base del logaritmo naturale).

3. Perché i numeri irrazionali sono significativi:

L’esistenza e le proprietà dei numeri irrazionali hanno profonde implicazioni in matematica:

- Aiutano a definire la struttura e le proprietà di quantità continue come distanze, angoli e volumi.

- Mostrano che l'insieme dei numeri razionali è incompleto, portando al concetto di un insieme più completo di numeri reali.

- Sono fondamentali per comprendere molti argomenti, come le approssimazioni irrazionali, l'analisi reale e i numeri trascendenti.

Il sistema dei numeri reali costituisce il fondamento di gran parte della matematica e ha applicazioni diffuse nella scienza, nell’ingegneria e nella vita di tutti i giorni. Fornisce la struttura fondamentale per rappresentare, confrontare e manipolare i numeri per descrivere e analizzare fenomeni del mondo reale e concetti matematici.