I tre metodi più comunemente usati per risolvere i sistemi di equazione sono la sostituzione, l'eliminazione e le matrici aumentate. La sostituzione e l'eliminazione sono semplici metodi che possono risolvere efficacemente la maggior parte dei sistemi di due equazioni in pochi semplici passi. Il metodo delle matrici aumentate richiede più passaggi, ma la sua applicazione si estende a una maggiore varietà di sistemi.

Sostituzione

La sostituzione è un metodo per risolvere sistemi di equazioni rimuovendo tutte tranne una delle variabili in una delle equazioni e quindi risolvere l'equazione. Ciò si ottiene isolando l'altra variabile in un'equazione e quindi sostituendo i valori per queste variabili in un'altra altra equazione. Ad esempio, per risolvere il sistema di equazioni x + y = 4, 2x - 3y = 3, isolare la variabile x nella prima equazione per ottenere x = 4 - y, quindi sostituire questo valore di y nella seconda equazione per ottenere 2 (4 - y) - 3y = 3. Questa equazione si semplifica a -5y = -5, o y = 1. Inserisci questo valore nella seconda equazione per trovare il valore di x: x + 1 = 4 o x = 3.

Eliminazione

L'eliminazione è un altro modo per risolvere i sistemi di equazioni riscrivendo una delle equazioni in termini di una sola variabile. Il metodo di eliminazione si ottiene sommando o sottraendo equazioni l'una dall'altra per annullare una delle variabili. Ad esempio, aggiungendo le equazioni x + 2y = 3 e 2x - 2y = 3 si ottiene una nuova equazione, 3x = 6 (si noti che i termini y sono stati cancellati). Il sistema viene quindi risolto utilizzando gli stessi metodi utilizzati per la sostituzione. Se è impossibile cancellare le variabili nelle equazioni, sarà necessario moltiplicare l'intera equazione per un fattore per far coincidere i coefficienti.

Matrice aumentata

Le matrici aumentate possono anche essere usato per risolvere sistemi di equazioni. La matrice aumentata consiste di righe per ogni equazione, colonne per ogni variabile e una colonna aumentata che contiene il termine costante sull'altro lato dell'equazione. Ad esempio, la matrice aumentata per il sistema di equazioni 2x + y = 4, 2x - y = 0 è [[2 1], [2 -1] ... [4, 0]].

Determinazione della soluzione

Il passaggio successivo prevede l'utilizzo di operazioni di riga elementari come la moltiplicazione o la divisione di una riga con una costante diversa da zero e l'aggiunta o la sottrazione di righe. L'obiettivo di queste operazioni è di convertire la matrice in una forma a fila di righe, in cui la prima voce diversa da zero in ogni riga è una 1, le voci sopra e sotto questa voce sono tutti zeri e la prima voce diversa da zero per ciascuna la riga è sempre alla destra di tutte queste voci nelle righe sopra di esso. La forma a fila di righe per la matrice sopra è [[1 0], [0 1] ... [1, 2]]. Il valore della prima variabile è dato dalla prima riga (1x + 0y = 1 o x = 1). Il valore della seconda variabile è dato dalla seconda riga (0x + 1y = 2 oy = 2).

Applicazioni

La sostituzione e l'eliminazione sono metodi più semplici di risoluzione delle equazioni e sono usati molto più frequentemente delle matrici aumentate nell'algebra di base. Il metodo di sostituzione è particolarmente utile quando una delle variabili è già isolata in una delle equazioni. Il metodo di eliminazione è utile quando il coefficiente di una delle variabili è lo stesso (o il suo equivalente negativo) in tutte le equazioni. Il vantaggio principale delle matrici aumentate è che può essere utilizzato per risolvere sistemi di tre o più equazioni in situazioni in cui la sostituzione e l'eliminazione sono o non fattibili o impossibili.