Uno dei risultati più famosi in quest'area è la congettura di Keplero. Questa congettura afferma che, tra tutti i poliedri regolari, l'impacchettamento più denso è ottenuto dal reticolo cubico a facce centrate. In questo reticolo ogni poliedro è circondato da altri 12 poliedri.
La congettura di Keplero fu proposta per la prima volta nel 1611, ma non fu dimostrata fino al 1998. La dimostrazione, pubblicata su Annals of Mathematics, era lunga più di 300 pagine e si basava su una varietà di tecniche matematiche.
La congettura di Keplero è stata estesa ad altri tipi di poliedri, come poliedri convessi e poliedri di uguale volume. Tuttavia, in questo ambito vi sono ancora una serie di problemi aperti. Ad esempio, non è noto quale sia l'impaccamento più denso per tutti i poliedri convessi.
Imballare i poliedri in una scatola è un problema impegnativo, ma è anche bello e affascinante. È un problema che da secoli cattura l’attenzione di scienziati e matematici, ed è probabile che continuerà ad essere studiato per molti anni a venire.
Ecco alcuni dettagli aggiuntivi su come imballare i poliedri in una scatola:
- La densità di un imballaggio è definita come il rapporto tra il volume dei poliedri e il volume della scatola.
- L'impacchettamento più denso di sfere è ottenuto dal reticolo cubico a facce centrate. In questo reticolo, ogni sfera è circondata da altre 12 sfere.
- L'impacchettamento più denso di cubi si ottiene grazie al reticolo cubico a corpo centrato. In questo reticolo ogni cubo è circondato da altri 8 cubi.
- L'impacchettamento più denso dei tetraedri si ottiene mediante il semplice reticolo cubico. In questo reticolo ogni tetraedro è circondato da altri 4 tetraedri.
- La congettura di Keplero afferma che, tra tutti i poliedri regolari, l'impacchettamento più denso è ottenuto dal reticolo cubico a facce centrate. In questo reticolo ogni poliedro è circondato da altri 12 poliedri.
- La congettura di Keplero è stata estesa ad altri tipi di poliedri, come i poliedri convessi e i poliedri di uguale volume. Tuttavia, in questo ambito vi sono ancora una serie di problemi aperti. Ad esempio, non è noto quale sia l'impaccamento più denso per tutti i poliedri convessi.
