Se dovessi prendere un quadrato e disegnare due linee diagonali, si incrocerebbero al centro e formerebbero quattro triangoli rettangoli. Le due diagonali si incrociano a 90 gradi. Potresti intuire intuitivamente che due diagonali di un cubo, ciascuna che va da un angolo del cubo al suo angolo opposto e che attraversa al centro, si incrocerebbe anche ad angolo retto. Ti sbaglieresti. Determinare l'angolo in cui due diagonali di un cubo si incrociano è leggermente più complicato di quanto potrebbe sembrare a prima vista, ma è di grande pratica per comprendere i principi della geometria e della trigonometria.

Definire la lunghezza di un bordo come una unità. Per definizione, ogni spigolo del cubo ha una lunghezza identica di una unità.

Usa il teorema di Pitagora per determinare la lunghezza di una diagonale che va da un angolo all'altro, sullo spigolo opposto sulla stessa faccia. Chiamala "diagonale corta" per chiarezza. Ogni lato del triangolo rettangolo formato è una unità, quindi la diagonale deve essere uguale a √2.

Utilizzare il teorema di Pitagora per determinare la lunghezza di una diagonale che va da un angolo all'angolo opposto della faccia opposta . Chiamala "diagonale lunga". Hai un triangolo rettangolo con un lato uguale a 1 unità e un lato uguale a un "diagonale corta", √2 unità. Il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei lati, quindi l'ipotenusa deve essere √3. Ogni diagonale che corre da un angolo del cubo all'angolo opposto è lunga √3 unità.

Disegna un rettangolo per rappresentare due lunghe diagonali che attraversano il centro del cubo. Vuoi trovare l'angolo della loro intersezione. Questo rettangolo sarà alto 1 unità e largo √2 unità. Le lunghe diagonali si intersecano a vicenda nel centro di questo rettangolo e formano due diversi tipi di triangolo. Uno di questi triangoli ha un lato uguale a una unità e gli altri due lati pari a √3 /2 (metà della lunghezza di una lunga diagonale). L'altro ha anche due lati uguali a √3 /2 ma l'altro lato è uguale a √2. Hai solo bisogno di analizzare uno dei triangoli, quindi prendi il primo e risolvi l'angolo sconosciuto.

Usa la formula trigonometrica c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos C per risolvere l'angolo sconosciuto di questo triangolo. C = 1, e sia a che b sono uguali a √3 /2. Collegando questi valori all'equazione, determinerai che il coseno dell'angolo sconosciuto è 1/3. Prendendo il coseno inverso di 1/3 si ottiene un angolo di 70,5 gradi.