Dalla scoperta dell'effetto Hall quantistico, le fasi topologiche degli elettroni sono diventate un'importante area di ricerca nella fisica della materia condensata. Molte fasi topologiche sono previste nei reticoli con l'ingegneria specifica del salto elettronico tra i siti reticolari. Sfortunatamente, la distanza tra siti vicini in reticoli naturali (cristalli) è dell'ordine di un miliardesimo di metro, che rende tale ingegneria estremamente difficile. D'altra parte, i cristalli fotonici hanno una scala molto più ampia. Le celle unitarie dei cristalli fotonici per la luce visibile sono diverse migliaia di volte più grandi di quelle degli elettroni. Perciò, non sorprende che le persone ricorrano all'analogo fotonico delle fasi topologiche scavando la somiglianza tra le equazioni di Maxwell e Schrodinger, ed è fiorita un'area di ricerca chiamata fotonica topologica.

Però, fotoni ed elettroni sono diversi come cani e gatti. I fotoni sono sociali per natura. Amano stare insieme (questo è il motivo per cui abbiamo i laser). Gli elettroni si odiano. Hanno i loro territori secondo il principio di esclusione di Fermi. La fotonica topologica basata sull'analogo tra le equazioni di Maxwell e Schrodinger appartiene all'ottica classica, cioè., una simulazione d'onda classica della topologia a banda elettronica. È naturale chiedersi se la luce quantizzata incorpori nuove fasi topologiche oltre l'interpretazione dell'ottica classica. Recentemente, Han Cai e Da-Wei Wang dell'Università di Zhejiang hanno rivelato le fasi topologiche nei reticoli di stati di luce quantizzati.

L'energia della luce può esistere solo in pacchetti discreti, un intero non negativo più la metà di hν, dove h è la costante di Planck e è la frequenza della luce. Il numero intero è il numero di fotoni in quello stato, che è chiamato lo stato di Fock, e la metà è fornita dalle fluttuazioni del vuoto. Questa discrezione dell'energia luminosa è la chiave per spiegare gli spettri della radiazione del corpo nero (ad es. in una fornace, una temperatura più alta sposta gli spettri sul lato blu di una striscia arcobaleno). La quantizzazione della luce ha anche profonde conseguenze nelle interazioni atomo-fotone. Quando ci sono n fotoni nel campo luminoso, la probabilità che un atomo eccitato emetta un altro fotone è proporzionale a n+1 (ricorda che i fotoni sono sociali e amano che nuovi membri si uniscano). Quando la luce è confinata in una cavità, l'energia emessa dall'atomo può essere riassorbita, che si traduce in un'oscillazione dell'atomo tra gli stati eccitato e fondamentale, e la frequenza di oscillazione è proporzionale alla radice quadrata di n+1. Uno spettro di questi valori discreti delle frequenze di oscillazione può essere osservato quando l'atomo è accoppiato con la luce in una sovrapposizione di stati di Fock, cioè., nel modello Jaynes-Cummings (JC), che è diventato un metodo standard per ottenere gli stati quantistici della luce.

Non è ovvio che il modello JC sia legato a fasi topologiche, ma questo ridimensionamento della radice quadrata di intero dello spettro energetico ricorda i livelli di elettroni di Landau in un grafene, che è una culla di fasi topologiche. Le bande energetiche degli elettroni in un grafene toccano in due punti sul bordo della zona di Brillouin, chiamato i punti di Dirac, dove gli elettroni che obbediscono all'equazione di Dirac bidimensionale hanno una relazione lineare tra la sua energia e la quantità di moto. Quando viene applicato un campo magnetico, gli elettroni compiono moti di ciclotrone con frequenze discrete scalando con la radice quadrata degli interi, che corrispondono a livelli di Landau discreti. Cai e Wang hanno stabilito la connessione tra il modello JC a tre modalità e gli elettroni di Dirac in un campo magnetico.

In un modello JC a tre modalità in cui un atomo è accoppiato a tre modalità di cavità, gli stati quantistici possono essere completamente descritti da quattro interi (x, si, z, Q), dove x, y e z sono i numeri di fotoni nei tre modi di cavità, e q=0 e 1 per gli stati fondamentale ed eccitato dell'atomo. Nel modello JC, tutti gli stati (N+1)^2 che soddisfano x+y+z+q=N formano un reticolo a nido d'ape, simile a un grafene e lo chiamiamo reticolo dello stato di Fock. Poiché l'atomo eccitato può emettere un fotone in uno dei modi della cavità, lo stato (x, si, z, 1) è accoppiato a tre stati confinanti, (x+1, si, z, 0), (X, y+1, z, 0) e (x, si, z+1, 0). Però, le forze di accoppiamento ai tre modi di cavità sono proporzionali alla radice quadrata dei loro numeri di fotoni. Per ogni stato (x, si, z, 1) c'è una competizione tra le tre cavità per ottenere il fotone emesso dall'atomo, e le cavità che contengono più fotoni hanno un vantaggio, che può essere inteso come il principio di maggioranza dei fotoni. Questo è equivalente a un grafene sottoposto a un ceppo che modifica i coefficienti di salto degli elettroni da un sito ai suoi tre vicini.

Si scopre che quando la forza di accoppiamento tra il modo della cavità più popolosa e l'atomo è maggiore della sommatoria di quelli degli altri due modi, i due punti di Dirac si fondono e si apre un band gap, che è una transizione topologica di Lifshitz tra un semimetallo e un isolante di banda. Nella fase semimetallica, la variazione della forza di accoppiamento è equivalente a un campo di deformazione che induce un campo magnetico efficace e porta a livelli di Landau quantizzati, sulla base del quale gli autori hanno studiato l'effetto Hall della valle e hanno costruito un modello Haldane nel modello JC a tre modalità.

Gli autori hanno anche studiato i reticoli dello stato di Fock unidimensionali con solo due modi di cavità. Sono modelli intrinseci di Su-Schriefer-Heeger e ospitano stati di confine topologici. Il modello può essere ulteriormente esteso a più di tre dimensioni per fasi topologiche non disponibili nei reticoli reali. Le fasi topologiche proposte sono pronte per essere realizzate in circuiti superconduttori e sono promettenti per applicazioni nell'elaborazione dell'informazione quantistica.