La matematica di oggetti dall'aspetto altrimenti semplice può essere sorprendentemente sconcertante. Probabilmente non c'è esempio più grande di questo della striscia di Möbius.
È un oggetto a un lato che può essere realizzato semplicemente attorcigliando un pezzo di carta e collegando le estremità con del nastro adesivo. Se dovessi seguire l'anello con il dito, alla fine saresti tornato al punto di partenza, dopo aver toccato l'intera superficie dell'anello lungo il viaggio. Questa semplice creazione, la striscia di Möbius, è fondamentale per l'intero campo della topologia e funge da esempio per eccellenza di vari principi matematici.
Uno di questi principi è la non orientabilità , che è l'impossibilità per i matematici di assegnare coordinate a un oggetto, diciamo in alto o in basso, o da un lato all'altro. Questo principio ha alcuni risultati interessanti, poiché gli scienziati non sono del tutto sicuri che l'universo sia orientabile.
Ciò pone uno scenario sconcertante:se un razzo con astronauti volasse nello spazio abbastanza a lungo e poi tornasse, supponendo che l'universo non fosse orientabile, è possibile che tutti gli astronauti a bordo tornino al contrario.
In altre parole, gli astronauti sarebbero tornati come immagini speculari di se stessi, completamente capovolti. I loro cuori sarebbero a destra piuttosto che a sinistra e potrebbero essere mancini piuttosto che destrorsi. Se uno degli astronauti avesse perso la gamba destra prima del volo, al ritorno, all'astronauta mancherebbe la gamba sinistra. Questo è ciò che accade mentre attraversi una superficie non orientabile come una striscia di Möbius.
Mentre si spera che la tua mente sia sconvolta, almeno leggermente, dobbiamo fare un passo indietro. Che cos'è una striscia di Möbius e come si può realizzare un oggetto con calcoli così complessi semplicemente ruotando un pezzo di carta?
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La striscia di Möbius (a volte scritta come "striscia di Möbius") fu scoperta per la prima volta nel 1858 da un matematico tedesco di nome August Möbius mentre stava ricercando teorie geometriche. Sebbene a Möbius sia in gran parte attribuita la scoperta (da cui il nome della striscia), fu scoperta quasi contemporaneamente da un matematico di nome Johann Listing. Tuttavia, ha trattenuto la pubblicazione del suo lavoro ed è stato picchiato sul tempo da August Möbius.
La striscia stessa è definita semplicemente come una superficie non orientabile su un lato che viene creata aggiungendo una mezza torsione a una fascia. Le strisce di Möbius possono essere qualsiasi fascia con un numero dispari di mezze torsioni, che alla fine fanno sì che la striscia abbia solo un lato e, di conseguenza, un bordo.
Fin dalla sua scoperta, la striscia unilaterale ha affascinato artisti e matematici. La striscia ha persino infatuato M.C. Escher, che porta alle sue famose opere, "Möbius Strip I&II".
Fondamentale per la formazione del campo della topologia matematica è stata anche la scoperta della striscia di Möbius, lo studio delle proprietà geometriche che rimangono inalterate quando un oggetto viene deformato o allungato. La topologia è fondamentale per alcune aree della matematica e della fisica, come le equazioni differenziali e la teoria delle stringhe.
Ad esempio, in base ai principi topografici, una tazza è in realtà una ciambella. Il matematico e artista Henry Segerman lo spiega meglio in un video di YouTube:"Se prendi una tazza da caffè, puoi in qualche modo annullare il rientro del punto in cui va il caffè e puoi schiacciare un po' il manico e alla fine puoi deformarlo in [a] forma rotonda simmetrica a ciambella." (Questo spiega la battuta sul fatto che un topologo sia qualcuno che non riesce a vedere la differenza tra una ciambella e una tazza di caffè.)
La striscia di Möbius è più di una semplice teoria matematica:ha alcune interessanti applicazioni pratiche, sia come supporto didattico per oggetti più complessi che in macchinari.
Ad esempio, poiché la striscia di Möbius è fisicamente unilaterale, l'utilizzo delle strisce di Möbius nei nastri trasportatori e in altre applicazioni garantisce che la cinghia stessa non subisca un'usura irregolare per tutta la sua durata. Il professore associato NJ Wildberger della School of Mathematics presso l'Università del New South Wales, in Australia, ha spiegato durante una serie di conferenze che spesso viene aggiunta una torsione alle cinghie di trasmissione nelle macchine, "intenzionalmente per consumare la cintura in modo uniforme su entrambi i lati". La striscia di Möbius può essere vista anche in architettura, ad esempio il ponte Wuchazi in Cina.
Il Dr. Edward English Jr., insegnante di matematica delle scuole medie ed ex ingegnere ottico, dice che quando ha appreso per la prima volta della striscia di Möbius alle elementari, il suo insegnante gli ha fatto creare una striscia di carta, tagliando la striscia di Möbius per tutta la sua lunghezza creando un striscia più lunga con due torsioni complete.
"Essere incuriosito ed esposto a questo concetto di due 'stati' mi ha aiutato, credo, quando ho incontrato spin up/down degli elettroni", dice, riferendosi al suo dottorato di ricerca. studi. "Varie idee di meccanica quantistica non erano concetti così strani da accettare e capire perché la striscia di Möbius mi ha introdotto a tali possibilità". Per molti, la striscia di Möbius funge da prima introduzione alla geometria e alla matematica complesse.
Creare una striscia Möbius è incredibilmente facile. Prendi semplicemente un pezzo di carta e taglialo in una striscia sottile, diciamo larga un pollice o 2 (2,5-5 centimetri). Una volta tagliata la striscia, ruota semplicemente una delle estremità di 180 gradi o di mezza torsione. Quindi, prendi del nastro adesivo e collega quell'estremità all'altra estremità, creando un anello con una mezza torsione all'interno. Ora ti rimane una striscia di Möbius!
Puoi osservare al meglio i principi di questa forma prendendo il dito e seguendo lungo i lati della striscia. Alla fine farai tutto il giro della forma e ritroverai il dito dove era iniziato.
Se tagli una striscia di Möbius al centro, per tutta la sua lunghezza, ti rimane un anello più grande con quattro mezze torsioni. Questo ti lascia con una forma circolare contorta, ma che ha ancora due lati. È questa dualità che il Dr. English ha menzionato lo ha aiutato a comprendere principi più complessi.
Ora è fantasticoSe tagli un bagel lungo il percorso di una striscia di Möbius, rimarrai con due anelli di bagel collegati. Non solo, ma la superficie del taglio sarà più grande del semplice taglio del bagel a metà, permettendoti di spalmare più crema di formaggio sul bagel da mangiare.
