Se ricordi solo vagamente la lezione di matematica della scuola elementare, potresti non ricordare cos'è un numero primo. È un peccato perché se stai cercando di proteggere le tue email dagli hacker o di navigare sul Web in modo confidenziale su una rete privata virtuale (VPN), stai utilizzando numeri primi senza nemmeno rendertene conto.
I numeri primi sono una parte cruciale della crittografia RSA, che utilizza i numeri primi come chiavi per sbloccare i messaggi nascosti all'interno di dati senza senso digitali. I numeri primi hanno altre applicazioni nella vita, quindi è bene capirli. Veniamo ora alla tua domanda iniziale:1 è un numero primo e perché i numeri primi sono importanti?
Contenuto
Allora, cosa sono i numeri primi? E come hanno fatto i numeri primi a diventare così importanti nel mondo moderno? Come spiega Wolfram MathWorld, un numero primo, noto anche semplicemente come numero primo, è un numero positivo maggiore di 1 che può essere diviso solo per uno e per se stesso. Deve essere divisibile per due numeri. Tenendo presente questa definizione di numeri primi, il numero 1 non è un numero primo.
Un buon modo per ricordarlo è sapere che un numero primo non può essere diviso per nessun altro numero naturale positivo senza lasciare un resto, un decimale o una frazione. Prendi l'esempio del numero primo 13. Ha solo due divisori:1 e 13. 13 ÷ 6 =2 con resto di 1. Dividendo un numero primo per qualsiasi altro numero naturale si ottengono i numeri rimanenti.
Nel corso della storia, i matematici si sono confrontati con il concetto di ciò che definisce veramente un numero primo. Al centro di questo dibattito c'era lo status del numero 1. Nel XIX secolo si discuteva se 1 fosse un numero primo o meno.
Una volta le persone credevano che 1 fosse primo. Il fondamento di questa convinzione poggiava sull'idea che un numero primo è definito dall'avere solo due divisori interi positivi:uno e se stesso. Pertanto, l'unico numero intero che rappresentava un problema nella categorizzazione era 1, perché, secondo questa definizione di base, soddisfaceva i criteri.
Tuttavia, con l’evoluzione della matematica, si è verificato un cambiamento in questa prospettiva. Per rendere le teorie dei numeri e i teoremi risultanti più consistenti e coerenti, i matematici hanno rivisitato i criteri affinché un numero venga identificato come primo. Il concetto di numeri primi necessitava di una distinzione tra numeri primi e numeri composti.
Per definizione che un numero primo ha esattamente due divisori positivi distinti, il numero 1 non si adattava poiché ha solo un divisore positivo distinto:1. Pertanto, la categorizzazione è cambiata, non considerando più 1 primo.
Questo spostamento ha assicurato che ogni intero positivo maggiore di 1 fosse classificato come primo o composito. Ha contribuito a fornire chiarezza nelle teorie e nei teoremi matematici, eliminando potenziali ambiguità. Sebbene il dibattito si sia in gran parte risolto con il consenso sul fatto che 1 non è un numero primo, il dibattito storico sottolinea la natura in evoluzione delle definizioni matematiche e la costante ricerca di precisione nella disciplina.
"L'unico numero primo pari è 2", afferma Debi Mink, professore associato di pedagogia in pensione presso l'Indiana University Southeast, la cui esperienza include l'insegnamento della matematica elementare. "Tutti gli altri numeri primi sono numeri dispari." Questo perché hanno più di due fattori. Quindi diamo un'occhiata a questo.
Tutti i numeri pari sono numeri compositi. 2 è l'unico numero primo pari perché non ha più di due divisori:i suoi unici divisori sono 1 e il numero 2 stesso. Affinché un numero possa essere classificato come numero primo, dovrebbe avere esattamente due fattori. Poiché 2 ha esattamente due fattori, 1 e il numero stesso, 2, è un numero primo.
Numeri come 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17 sono tutti considerati numeri primi perché hanno esattamente due fattori, 1 e il numero stesso. Numeri come 4, 6, 8, 9, 10 e 12 non sono numeri primi perché hanno più di due fattori.
I numeri compositi sono l’opposto dei numeri primi. Possono essere divisi per altri numeri oltre a 1 e se stessi.
Mark Zegarelli, autore di numerosi libri di matematica nella popolare serie "For Dummies" che tiene anche corsi di preparazione ai test, offre un'illustrazione che coinvolge monete che usa con alcuni dei suoi studenti per spiegare la differenza tra numeri primi e numeri compositi.
"Pensate al numero 6", dice Zegarelli, citando un numero composto. "Immagina di avere sei monete. Potresti disporle in un rettangolo, con due file di tre monete. Puoi farlo anche con otto, mettendo quattro monete in due file. Con il numero 12, potresti farlo in più di un tipo di rettangolo:potresti avere due file di sei monete o tre volte quattro."
"Ma se prendi il numero 5, per quanto ci provi, non puoi metterlo in un rettangolo", nota Zegarelli. "La cosa migliore che puoi fare è infilarlo in una linea, una singola fila di cinque monete. Quindi, potresti chiamare 5 un numero non rettangolare. Ma il modo più semplice per dirlo è chiamarlo numero primo."
Ci sono molti altri numeri primi:anche 2, 3, 7 e 11 sono nell'elenco, e da lì continua a scorrere. Il matematico greco Euclide, intorno al 300 a.C., concepì una dimostrazione dell'infinità dei numeri primi, che potrebbe essere stata la prima prova matematica che dimostra che esiste un numero infinito di numeri primi. (Nell'antica Grecia, dove il concetto moderno di infinito non era del tutto compreso, Euclide descriveva la quantità di numeri primi semplicemente come "più di qualsiasi moltitudine di numeri primi assegnata.")
Un altro modo di comprendere i numeri primi e i composti è pensarli come il prodotto di fattori, afferma Zegarelli. "2 per 3 fa 6, quindi 2 e 3 sono fattori di 6. Quindi, ci sono due modi per fare sei:1 per 6 e 2 per 3. Mi piace pensarli come coppie di fattori. Quindi, con un composto numero, hai più coppie di fattori, mentre con un numero primo hai solo una coppia di fattori, una volta il numero stesso."
Dimostrare che la lista dei numeri primi è infinita non è così difficile, dice Zegarelli. "Immaginiamo che ci sia un ultimo numero primo, il più grande. Lo chiameremo P. Allora prenderò tutti i numeri primi fino a P e li moltiplicherò tutti insieme. Se lo faccio e aggiungo uno al prodotto , quel numero deve essere primo."
Se un numero è composto, invece, è sempre divisibile per una certa quantità di numeri primi inferiori. "Un composto potrebbe essere divisibile anche per altri composti, ma alla fine è possibile scomporlo in un insieme di numeri primi." (Un esempio:il numero 48 ha esattamente due fattori, 6 e 8, ma puoi scomporlo ulteriormente in più di due soli fattori:2 volte 3 volte 2 volte 2 volte 2.)
Il Setaccio di Eratostene è un metodo, introdotto dal matematico greco Eratostene nel III secolo a.C., utilizzato per trovare i numeri primi e i numeri composti in un gruppo di numeri.
Il Setaccio di Eratostene si basa sull'idea che i multipli di un numero primo non sono essi stessi primi. Pertanto, durante la ricerca dei numeri primi, è possibile cancellare tutti i multipli di ciascun numero primo. Ciò elimina molti numeri che altrimenti sarebbero stati provati senza motivo, quindi il Setaccio di Eratostene può far risparmiare molto tempo.
Ci sono solo 25 numeri primi tra i numeri 1 e 100:
Allora perché i numeri primi esercitano un tale fascino tra i matematici da migliaia di anni? Come spiega Zegarelli, gran parte della matematica superiore si basa sui numeri primi. Ma c'è anche la crittografia, nella quale i numeri primi hanno un'importanza fondamentale perché i numeri veramente grandi possiedono una caratteristica particolarmente preziosa. Non esiste un modo semplice e veloce per capire se sono numeri primi o numeri composti, dice.
La difficoltà di discernere tra enormi numeri primi ed enormi numeri compositi rende possibile per un crittografo ottenere enormi numeri compositi che sono fattori di due numeri primi davvero grandi, composti da centinaia di cifre.
"Immagina che la serratura della tua porta sia un numero di 400 cifre", dice Zegarelli. "La chiave è uno dei numeri di 200 cifre che sono stati utilizzati per creare quel numero di 400 cifre. Se ho uno di questi fattori in tasca, ho la chiave di casa. Ma se non l'hai Senza questi fattori, è dannatamente difficile entrare."
Ecco perché i matematici hanno continuato a lavorare per trovare numeri primi sempre più grandi, in un progetto in corso chiamato Great Internet Mersenne Prime Search. Nel 2018, quel progetto ha portato alla scoperta di un numero primo composto da 23.249.425 cifre, sufficienti a riempire 9.000 pagine di un libro. Ci sono voluti 14 anni di calcoli per arrivare a quel gigantesco numero primo.
Potete immaginare quanto Euclide possa esserne rimasto colpito.
Questo articolo è stato aggiornato insieme alla tecnologia AI, quindi verificato e modificato da un editor di HowStuffWorks.
Ora va beneSebbene molti abbiano creduto che i numeri primi fossero casuali, in un articolo del 2016, due matematici della Stanford University hanno descritto uno schema apparente precedentemente sconosciuto, in cui i numeri primi tendevano ad essere seguiti da altri numeri primi che terminavano con determinate cifre, come dettagliato in questo articolo di Wired. Ad esempio, tra il primo miliardo di numeri primi, un numero primo che termina con 9 ha circa il 65% di probabilità in più di essere seguito da un numero primo che termina con uno rispetto a quello che è seguito da un numero primo che termina con nove.
