Quando senti le parole "razionale" e "irrazionale", potrebbero farti venire in mente l'implacabile analitico Spock di "Star Trek". Se sei un matematico, tuttavia, probabilmente penserai ai rapporti tra numeri interi e radici quadrate.
Nel campo della matematica, dove le parole a volte hanno significati specifici che sono molto diversi dall'uso quotidiano, la differenza tra numeri razionali e irrazionali non ha nulla a che fare con le emozioni. Dato che esistono infiniti numeri irrazionali, faresti bene ad acquisirne una conoscenza di base.
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"Nel ricordare la differenza tra numeri razionali e irrazionali, pensa a una parola:rapporto", spiega Eric D. Kolaczyk. È professore presso il dipartimento di matematica e statistica dell'Università di Boston e direttore del Rafik B. Hariri Institute for Computing and Computational Science &Engineering dell'università.
"Se puoi scrivere un numero come rapporto tra due numeri interi (ad esempio, 1 su 10, -5 su 23, 1.543 su 10, ecc.), allora lo inseriamo nella categoria dei numeri razionali", afferma Kolaczyk in una e-mail. "Altrimenti diciamo che è irrazionale."
Puoi esprimere un numero intero o una frazione (parti di numeri interi) come rapporto, utilizzando un numero intero chiamato numeratore sopra un altro numero intero chiamato denominatore. Dividi il denominatore nel numeratore. Questo può darti un numero come 1/4 o 500/10 (altrimenti noto come 50).
I numeri irrazionali, a differenza dei numeri razionali, sono piuttosto complicati. Come spiega Wolfram MathWorld, non possono essere espressi tramite frazioni e quando provi a scriverli come numero con un punto decimale, le cifre continuano ad andare avanti all'infinito, senza mai fermarsi o ripetere uno schema.
Allora che tipo di numeri si comportano in modo così folle? Fondamentalmente, quelli che descrivono cose complicate.
Forse il numero irrazionale più famoso è pi greco – a volte scritto come π, la lettera greca per “p” – che esprime il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il diametro di quel cerchio. Come ha spiegato il matematico Steven Bogart in questo articolo di Scientific American del 1999, tale rapporto sarà sempre uguale a pi greco, indipendentemente dalla dimensione del cerchio.
Da quando i matematici babilonesi tentarono di calcolare il pi greco quasi 4.000 anni fa, le generazioni successive di matematici hanno continuato a impegnarsi, arrivando a stringhe sempre più lunghe dell'espansione decimale con schemi non ripetitivi.
Nel 2019, la ricercatrice di Google Emma Hakura Iwao è riuscita a estendere il pi greco a 31.415.926.535.897 cifre.
A volte, una radice quadrata, ovvero un fattore di un numero che, moltiplicato per se stesso, produce il numero da cui hai iniziato, è un numero irrazionale, a meno che non sia un quadrato perfetto che è un numero intero, come 4, il quadrato radice di 16.
Uno degli esempi più evidenti è la radice quadrata di 2, che dà come risultato 1,414 più una serie infinita di cifre non ripetitive. Tale valore corrisponde alla lunghezza della diagonale all'interno di un quadrato, come descritto per la prima volta dagli antichi greci nel teorema di Pitagora.
"In effetti, in genere usiamo 'razionale' per indicare qualcosa di più simile a quello basato sulla ragione o simile", afferma Kolaczyk. "Il suo uso in matematica sembra essere emerso già nel 1200 in fonti britanniche (secondo l'Oxford English Dictionary). Se si fa risalire sia 'razionale' che 'rapporto' alle loro radici latine, si scopre che in entrambi i casi il root riguarda il "ragionamento", in senso lato."
Ciò che è più chiaro è che sia i numeri irrazionali che quelli razionali hanno svolto un ruolo importante nel progresso della civiltà.
Mentre il linguaggio risale probabilmente all'origine della specie umana, i numeri sono arrivati molto più tardi, spiega Mark Zegarelli, insegnante di matematica e autore che ha scritto 10 libri della serie "For Dummies". I cacciatori-raccoglitori, dice, probabilmente non avevano bisogno di molta precisione numerica, a parte la capacità di stimare e confrontare approssimativamente le quantità.
"Avevano bisogno di concetti del tipo:'Non abbiamo più mele'", afferma Zegarelli. "Non avevano bisogno di sapere:'Abbiamo esattamente 152 mele.'"
Ma quando gli esseri umani iniziarono a ritagliarsi appezzamenti di terreno per creare fattorie, costruire città e produrre e scambiare beni, viaggiando sempre più lontano dalle loro case, si resero necessari calcoli più complessi.
"Supponiamo di costruire una casa con un tetto in cui l'aumento è della stessa lunghezza della corsa dalla base al suo punto più alto", dice Kolaczyk. "Quanto è lungo il tratto della superficie del tetto dalla sommità al bordo esterno? Sempre un fattore della radice quadrata di 2 dell'alzata (corsa). E anche questo è un numero irrazionale."
Nel 21° secolo tecnologicamente avanzato, i numeri irrazionali continuano a svolgere un ruolo cruciale, secondo Carrie Manore. È una scienziata e matematica del gruppo Information Systems and Modeling del Los Alamos National Laboratory.
"Pi greco è ovviamente il primo numero irrazionale di cui parlare", afferma Manore via e-mail. "Ci serve per determinare l'area e la circonferenza dei cerchi. È fondamentale per calcolare gli angoli, e gli angoli sono fondamentali per la navigazione, la costruzione, il rilevamento, l'ingegneria e altro ancora. La comunicazione in radiofrequenza dipende da seni e coseni che coinvolgono pi greco."
Inoltre, i numeri irrazionali svolgono un ruolo chiave nella complessa matematica che rende possibile il trading azionario ad alta frequenza, la modellizzazione, le previsioni e la maggior parte delle analisi statistiche, tutte attività che tengono viva la nostra società.
"In effetti", aggiunge Manore, "nel nostro mondo moderno, ha quasi senso chiedersi invece:'Dove sono i numeri irrazionali non in uso?'"
Questo articolo è stato aggiornato insieme alla tecnologia AI, quindi verificato e modificato da un editor di HowStuffWorks.
Questo è interessanteDal punto di vista computazionale, "quasi sempre utilizziamo effettivamente approssimazioni di questi numeri irrazionali per risolvere i problemi", spiega Manore. "Tali approssimazioni sono razionali poiché i computer possono calcolare solo con una certa precisione. Sebbene il concetto di numeri irrazionali sia onnipresente nella scienza e nell'ingegneria, si potrebbe sostenere che in realtà non utilizziamo mai un vero numero irrazionale nella pratica."
