Per quelli di noi che non sono portati per la matematica, la nozione di numeri immaginari è un po' sconcertante. Cosa diavolo significa? Sono numeri inventati? Sono invisibili come gli amici immaginari? Invia aiuto per la matematica!
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Un numero immaginario (in sostanza, un numero che, una volta elevato al quadrato, dà come risultato un numero negativo) fu stabilito per la prima volta nel 1400 e nel 1500 come un modo per risolvere alcune equazioni fastidiose.
Sebbene inizialmente pensati come una sorta di trucco da salotto, nei secoli successivi i numeri immaginari sono diventati uno strumento per concettualizzare il mondo in modi complessi e oggi sono utili in campi che vanno dall'ingegneria elettrica alla meccanica quantistica.
"Abbiamo inventato i numeri immaginari per alcuni degli stessi motivi per cui abbiamo inventato i numeri negativi", spiega Cristopher Moore. È fisico presso il Santa Fe Institute, un istituto di ricerca indipendente nel New Mexico, e coautore, insieme a Stephan Mertens, del libro del 2011 "The Nature of Computation".
"Inizia con l'aritmetica ordinaria", continua Moore. "Quanto fa due meno sette? Se non hai mai sentito parlare di numeri negativi, non ha senso. Non c'è risposta. Non puoi avere meno cinque mele, giusto? Ma pensala in questo modo. Potresti essere in debito con me." cinque mele, o cinque dollari. Una volta che le persone hanno iniziato a occuparsi di contabilità e contabilità, abbiamo avuto bisogno di questo concetto."
Allo stesso modo, oggi abbiamo tutti familiarità con l'idea che se firmiamo grossi assegni per pagare qualcosa ma non abbiamo abbastanza soldi per coprirli, potremmo avere un saldo negativo nei nostri conti bancari.
Un altro modo per considerare i numeri negativi, che tornerà utile in seguito, è pensare di passeggiare in un quartiere cittadino, spiega Moore.
Se sbagli la svolta e nella direzione opposta rispetto alla nostra destinazione, ad esempio cinque isolati a sud, quando avresti dovuto andare a nord, potresti pensare di camminare per cinque isolati negativi verso nord.
"Inventare numeri negativi espande il tuo universo matematico e ti consente di parlare di cose che prima erano difficili", afferma Moore.
I numeri immaginari e i numeri complessi – cioè i numeri che includono una componente immaginaria – sono un altro esempio di questo tipo di pensiero creativo. Come spiega Moore:"Se ti chiedo, qual è la radice quadrata di nove, è facile, vero? La risposta è tre, anche se potrebbe anche essere tre negativo", poiché moltiplicando due negativi si ottiene un positivo.
Ma qual è la radice quadrata di quello negativo? Esiste un numero che, moltiplicato per se stesso, dà uno negativo? "A un certo livello, non esiste un numero simile", afferma Moore.
Ma i matematici del Rinascimento trovarono un modo intelligente per aggirare questo problema. "Prima che inventassimo i numeri negativi, non esisteva un numero pari a due meno sette", continua Moore. "Quindi forse dovremmo inventare un numero che sia radice quadrata di uno negativo. Diamogli un nome. i ."
Una volta inventato il concetto di numero immaginario, i matematici hanno scoperto che potevano farci cose davvero interessanti. Ricorda che moltiplicare un numero positivo per un numero negativo equivale a un numero negativo, ma moltiplicare due numeri negativi tra loro equivale a un numero positivo.
Ma cosa succede quando inizi a moltiplicare i? volte sette e poi volte i Ancora? Perché i volte i è uno negativo, la risposta è sette negativo. Ma se moltiplichi sette volte i volte i volte i volte i , all'improvviso ottieni il sette positivo. "Si annullano a vicenda", osserva Moore.
Ora pensaci. Hai preso un numero immaginario, lo hai inserito più volte in un'equazione e ti sei ritrovato con un numero reale che usi comunemente nel mondo reale.
Fu solo qualche centinaio di anni dopo, all'inizio del 1800, che i matematici scoprirono un altro modo di comprendere i numeri immaginari:pensarli come punti su un piano, spiega Mark Levi. È professore e preside del dipartimento di matematica della Penn State University e autore del libro del 2012 "Perché i gatti atterrano in piedi:e 76 altri paradossi fisici ed enigmi".
Quando pensiamo ai numeri come punti su una linea e poi aggiungiamo una seconda dimensione, "i punti su quel piano sono i numeri immaginari", dice.
Immagina una linea numerica. Quando pensi a un numero negativo, è a 180 gradi di distanza dai numeri positivi sulla linea. "Quando moltiplichi due numeri negativi, aggiungi i loro angoli, 180 gradi più 180 gradi, e ottieni 360 gradi. Ecco perché è positivo", spiega Levi.
Ma non puoi mettere la radice quadrata dell'uno negativo in nessun punto dell'asse X. Semplicemente non funziona. Tuttavia, se crei un asse Y perpendicolare alla X, ora hai un posto dove posizionarlo.
E anche se i numeri immaginari sembrano solo un mucchio di sciocchezze matematiche, in realtà sono molto utili per alcuni calcoli importanti nel mondo tecnologico moderno, come calcolare il flusso d'aria sopra l'ala di un aereo o calcolare il consumo di energia. dalla resistenza combinata con l'oscillazione in un sistema elettrico.
I numeri complessi con componenti immaginarie sono utili anche in fisica teorica, spiega Rolando Somma, un fisico che lavora negli algoritmi di calcolo quantistico presso il Los Alamos National Laboratory.
"A causa della loro relazione con le funzioni trigonometriche, sono utili per descrivere, ad esempio, funzioni periodiche", spiega Somma via e-mail. "Queste nascono come soluzioni alle equazioni delle onde, quindi utilizziamo numeri complessi per descrivere varie onde, come un'onda elettromagnetica. Pertanto, come in matematica, il calcolo complesso in fisica è uno strumento estremamente utile per semplificare i calcoli."
I numeri complessi hanno un ruolo anche nella meccanica quantistica, una teoria che descrive il comportamento della natura su scala di atomi e particelle subatomiche.
"Nella meccanica quantistica i appare esplicitamente nell'equazione di Schrödinger", spiega Somma. "Pertanto, i numeri complessi sembrano avere un ruolo più fondamentale nella meccanica quantistica piuttosto che servire semplicemente come utile strumento di calcolo."
"Lo stato di un sistema quantistico è descritto dalla sua funzione d'onda", continua. "Come soluzione dell'equazione di Schrodinger, questa funzione d'onda è una sovrapposizione di determinati stati e i numeri che compaiono nella sovrapposizione sono complessi. I fenomeni di interferenza nella fisica quantistica, ad esempio, possono essere facilmente descritti utilizzando numeri complessi."
Questo è interessanteI numeri immaginari sono menzionati anche nel bestseller di Dan Brown del 2003 "Il Codice Da Vinci" e nel romanzo di Thomas Pynchon del 2012 "Contro il giorno".
Questo articolo è stato aggiornato insieme alla tecnologia AI, quindi verificato e modificato da un editor di HowStuffWorks.
