I matematici si occupano di risolvere problemi. Nel corso di questi tentativi di risoluzione dei problemi, esplorano idee e talvolta escogitano altri problemi di matematica con cui armeggiare. Alcuni di questi problemi possono richiedere intere carriere per essere risolti da generazioni di matematici, mentre altri richiedono l’aiuto di un supercomputer. Altri sembrano semplicemente irrisolvibili, anche se il consenso generale è che alla fine dovremmo essere in grado di risolvere tutti i problemi di matematica.
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La congettura di Collatz, o il "problema 3n+1", è quella che stiamo ancora aspettando di vedere risolta. Introdotta nel 1937 dal matematico tedesco Lothar Collatz, la congettura di Collatz è una domanda apparentemente semplice con una risposta sorprendentemente sfuggente. La congettura presuppone che se si ripetono due semplici operazioni aritmetiche, alla fine si finirà per trasformare ogni intero positivo nel numero uno. Il problema è che non è stato ancora dimostrato che sia vero per tutti i numeri interi. Magari con qualche numero la sequenza galoppa all'infinito.
I matematici hanno testato milioni di numeri naturali e nessuno ha dimostrato che si sbagliavano. Ma nessuno ha nemmeno dimostrato che ciò sia incondizionatamente corretto. Si dice che il leggendario matematico ungherese Paul Erdos abbia affermato:"La matematica potrebbe non essere pronta per tali problemi".
Collatz elaborò la sua congettura appena due anni dopo aver conseguito il dottorato presso l'Università di Berlino. Per qualcuno che ha svolto un lavoro matematico così importante nella sua carriera, essere noto per un nuovo problema - uno che potrebbe essere testato da un gruppo di alunni di quarta elementare - è notevole. Sebbene tutti i calcoli supportino l'idea che la congettura sia vera, il fatto che sia rimasta irrisolta per 86 anni la rende ancora più intrigante.
La sequenza di Collatz è anche chiamata sequenza "3n + 1" perché viene generata iniziando con qualsiasi numero positivo e seguendo solo due semplici regole:se è pari, dividilo per due, e se è dispari, triplicalo e aggiungi uno. Quindi, "3n + 1". Segui queste due regole più e più volte e la congettura afferma che, indipendentemente dal numero di partenza, alla fine raggiungerai sempre il numero uno.
Ad esempio, inizia con il numero sette. È un numero dispari, quindi gli dai il vecchio trattamento 3n + 1, che equivale a 22. È un numero pari, il che significa che devi tagliarlo a metà, il che ci dà 11. Ecco il calcolo per il resto della sequenza :
11 x 3 =33 + 1 =34 34 / 2 =17 17 x 3 =51 + 1 =52 52 / 2 =26 26 / 2 =13 13 x 3 =39 + 1 =40 40 / 2 =20 20/2 =10 10/2 =5 5 x 3 =15 + 1 =16 16/2 =8 8/2 =4 4/2 =2 2/2 =1
Quindi, se inizi con il numero sette, la sequenza di Collatz è 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Se lo fai di nuovo partendo dal numero uno, un numero dispari, moltiplichi per tre e aggiungi uno. Da lì ne ottieni quattro, che si riducono rapidamente a uno. Questo inizia il ciclo che non finisce mai.
Un altro nome per i numeri generati nella congettura di Collatz è la "sequenza dei chicchi di grandine". Come puoi vedere dalla sequenza sopra elencata, i numeri vanno su e giù e su e giù come chicchi di grandine in una nuvola temporalesca, vengono sollevati, raccolgono ghiaccio e, dopo essere caduti nella parte inferiore della nuvola, vengono sospinti di nuovo verso l'alto. Ad un certo punto precipitano a terra. Ci sono alcuni numeri che, una volta raggiunti nei tuoi calcoli, diminuiscono più rapidamente, ma alla fine scendono tutti a uno.
Quindi, la congettura di Collatz funziona per milioni e milioni di numeri (qualsiasi cosa con meno di 19 cifre, nel caso stessi pensando di tentare la fortuna con qualcosa di più piccolo) ma uno dei problemi che i matematici stanno cercando di risolvere è perché . Se lo capissero, avrebbero un modo per dire con certezza che funziona su tutti i numeri naturali.
Una cosa che rende la congettura di Collatz così confusa è che coinvolge un numero infinito di numeri interi. Anche il supercomputer più potente non può controllare ogni singolo numero per vedere se la congettura è vera. Non ancora, almeno.
Negli ultimi anni un matematico ha fatto un passo avanti nella congettura di Collatz. Terence Tao, uno dei matematici più dotati del secolo scorso, ha pubblicato un articolo nel 2019 intitolato "Almost All Collatz Orbits Attain Almost Bounded Values". Tao non è un tipo trascurato:ha conseguito il dottorato di ricerca. da Princeton all'età di 21 anni e divenne il più giovane professore di matematica della UCLA a 24 anni. Vinse la medaglia Fields, il più alto riconoscimento di matematica di tutto il paese, all'età di 31 anni. E tuttavia la sua grande novità riguarda la sua svolta a Collatz contiene due "quasi".
Fondamentalmente, i risultati di Tao indicano un nuovo metodo per affrontare il problema e notano quanto sarebbe raro che un numero divergesse dalla regola di Collatz. Raro, ma non necessariamente inesistente.
E questo, amici, è il risultato più vicino a cui si è arrivati negli ultimi anni per risolvere la congettura di Collatz. Ricorda, se intendi provare a risolverlo da solo, inizia con numeri che iniziano con almeno 20 cifre.
Questo è interessanteL'Ultimo Teorema di Fermat è un problema di matematica rimasto irrisolto per 365 anni. È stato finalmente dimostrato nel 1995.
