Con quante persone condividi il compleanno? Per molti anni non ho conosciuto nessuno che condividesse il mio compleanno, ma man mano che il mio gruppo di conoscenti si allargava, aumentava anche la probabilità che almeno alcuni di loro condividessero la stessa data di nascita. Adesso conosco almeno altre cinque persone che festeggiano il mio stesso compleanno estivo. Quali sono le probabilità?
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La risposta sta nel paradosso del compleanno :quanto deve essere grande un gruppo casuale di persone affinché ci sia il 50% di probabilità che almeno due persone compiano lo stesso compleanno?
Prendiamo ad esempio una classe di scolari. Diciamo che ci sono 30 bambini nella classe che hanno 365 possibili date di nascita in un anno solare. Le probabilità che qualcuno degli studenti abbia lo stesso compleanno sembrano piuttosto basse, giusto? Dopotutto, in un gruppo di soli 30 bambini, i cui arrivi sono stati distribuiti casualmente su 10 volte il numero di giorni dell'anno, nessuno probabilmente avrebbe condiviso una data di nascita, giusto?
Quindi, quanto deve essere grande un gruppo di persone a caso affinché due di loro possano condividere un compleanno? La maggior parte delle persone che fanno rapidamente i conti a mente crederanno che 182 sia la risposta corretta, che corrisponde a circa la metà del numero di giorni in un anno. Ma avresti davvero bisogno di 182 persone in un gruppo affinché due di loro abbiano la stessa data di nascita?
No, non è così semplice:il paradosso del compleanno ha a che fare con gli esponenziali.
"Ancora più importante, le persone sottovalutano notevolmente la rapidità con cui la probabilità aumenta con la dimensione del gruppo. Il numero di possibili accoppiamenti aumenta esponenzialmente con la dimensione del gruppo. E gli esseri umani sono terribili quando si tratta di comprendere la crescita esponenziale", Jim Frost, statistico ed editorialista dell'American Digest statistico della Society of Quality, ha detto a WordsSideKick.com.
Non siamo poi così bravi a indovinare le probabilità, soprattutto quando sono controintuitive come il paradosso del compleanno.
"Adoro questo tipo di problemi perché illustrano come gli esseri umani generalmente non siano bravi con le probabilità, portandoli a prendere decisioni sbagliate o a trarre conclusioni sbagliate", ha detto Frost.
Per comprendere il probabile numero di persone affinché due di loro diventino gemelli, dobbiamo fare i conti e avviare un processo di eliminazione.
Per un gruppo di due persone, ad esempio, la probabilità che una persona condivida il compleanno con l'altra è di 364 giorni su 365. Questa è una probabilità di circa lo 0,27%. Aggiungi una terza persona al gruppo e la possibilità di condividere un compleanno passa a 363 su 365 giorni, ovvero una probabilità di circa lo 0,82%.
Come avrai intuito, e giustamente, più grande è il gruppo, maggiori sono le probabilità che due persone siano nate lo stesso giorno. Allora qual è la risposta giusta al paradosso del compleanno? Se continuiamo a fare i conti, scopriremo che quando raggiungiamo un gruppo di 23 persone, ci sarà circa il 50% di probabilità che due di loro compiano gli anni insieme.
Perché 23 sembra una risposta così controintuitiva? Tutto ha a che fare con gli esponenti. Il nostro cervello generalmente non calcola il potere composto degli esponenti quando facciamo i conti nella nostra testa. Tendiamo a pensare che il calcolo delle probabilità sia un esercizio lineare, il che non potrebbe essere più lontano dalla verità.
In una stanza con altre 22 persone, se confronti il tuo compleanno con i compleanni delle altre 22 persone, si otterrebbero solo 22 confronti.
Ma se si confrontano tutti i 23 compleanni tra loro, si ottengono molti più di 22 confronti. Quanti ancora? Bene, una persona ha 22 confronti da fare, ma la seconda persona è già stata confrontata con la prima, quindi ce ne sono solo 21 da fare. La terza persona ha quindi 20 confronti, la quarta ne ha 19 e così via. Se sommi tutti i confronti possibili, il totale è 253 confronti o combinazioni di confronti. Pertanto, un assemblaggio di 23 persone implica 253 combinazioni di confronto, o 253 possibilità che due compleanni corrispondano.
Ecco un altro problema di crescita esponenziale simile al paradosso del compleanno. "In cambio di qualche servizio, supponiamo che ti venga offerto di essere pagato 1 centesimo il primo giorno, 2 centesimi il secondo giorno, 4 centesimi il terzo, 8 centesimi, 16 centesimi e così via, per 30 giorni." disse Gelo. "È un buon affare? La maggior parte delle persone pensa che sia un cattivo affare, ma grazie alla crescita esponenziale, il trentesimo giorno avrai un totale di 10,7 milioni di dollari."
Domande di probabilità matematica come queste "mostrano quanto la matematica possa essere utile per migliorare le nostre vite", ha detto Frost. "Quindi, i risultati controintuitivi di questi problemi sono divertenti, ma hanno anche uno scopo."
La prossima volta che farai parte di un gruppo di 23 persone, puoi essere sicuro di avere il 50% di possibilità di condividere un compleanno con qualcuno.
Questo è interessantePsicologicamente parlando, ci sono due "sistemi" che il cervello utilizza per risolvere problemi e prendere decisioni:il primo sistema si basa sull'intuizione e ci consente di prendere decisioni rapide, mentre il secondo sistema richiede un pensiero deliberato (e talvolta prolungato) per arrivare con una risposta. Il paradosso del compleanno si basa sul secondo sistema per fare i conti e trovare la risposta corretta.
