L'equazione di Schrodinger è l'equazione più fondamentale nella meccanica quantistica, e imparare a usarla e ciò che significa è essenziale per qualsiasi fisico in erba. L'equazione prende il nome da Erwin Schrödinger, che vinse il Premio Nobel insieme a Paul Dirac nel 1933 per i loro contributi alla fisica quantistica.

L'equazione di Schrodinger descrive la funzione d'onda di un sistema meccanico quantistico, che fornisce informazioni probabilistiche sul posizione di una particella e altre quantità osservabili come il suo momento. La cosa più importante che realizzerai sulla meccanica quantistica dopo aver appreso dell'equazione è che le leggi nel regno quantico sono molto diverse da quelle della meccanica classica.
La funzione d'onda

La funzione d'onda è una dei concetti più importanti nella meccanica quantistica, perché ogni particella è rappresentata da una funzione d'onda. In genere viene data la lettera greca psi ( Ψ
) e dipende dalla posizione e dal tempo. Quando hai un'espressione per la funzione d'onda di una particella, ti dice tutto ciò che può essere conosciuto sul sistema fisico e puoi ottenere valori diversi per quantità osservabili applicando un operatore ad esso.

Il quadrato del modulo della funzione d'onda indica la probabilità di trovare la particella in una posizione x
in un dato momento t
. Questo è solo il caso in cui la funzione è "normalizzata", il che significa che la somma del modulo quadrato su tutte le posizioni possibili deve essere uguale a 1, ovvero che la particella è certa
da localizzare da qualche parte
.

Nota che la funzione d'onda fornisce solo informazioni probabilistiche e quindi non puoi prevedere il risultato di nessuna osservazione, anche se puoi determinare la media su molte misurazioni.

È possibile utilizzare la funzione d'onda per calcolare il "valore di aspettativa" per la posizione della particella al momento t
, con il valore di aspettativa pari al valore medio di x
otterresti se ripetessi la misurazione più volte.

Ancora una volta, questo non ti dice nulla su una misurazione particolare. In effetti, la funzione d'onda è più una distribuzione di probabilità per una singola particella che qualsiasi cosa concreta e affidabile. Utilizzando l'operatore appropriato, è anche possibile ottenere valori di aspettativa per quantità di moto, energia e altre quantità osservabili.
L'equazione di Schrodinger

L'equazione di Schrodinger è un'equazione differenziale parziale lineare che descrive l'evoluzione di uno stato quantico in un modo simile alle leggi di Newton (la seconda legge in particolare) nella meccanica classica.

Tuttavia, l'equazione di Schrodinger è un'equazione d'onda per la funzione d'onda della particella in questione, e quindi l'uso dell'equazione per prevedere che lo stato futuro di un sistema è talvolta chiamato "meccanica delle onde". L'equazione stessa deriva dalla conservazione dell'energia e si basa su un operatore chiamato Hamiltoniano.

La forma più semplice dell'equazione di Schrodinger da annotare è:
H Ψ \u003d iℏ \\ frac {\\ partialΨ} {\\ partial t}

Dove ℏ è la costante di Planck ridotta (cioè la costante divisa per 2π) e H
è l'operatore hamiltoniano , che corrisponde alla somma del poten energia tial ed energia cinetica (energia totale) del sistema quantistico. L'Hamiltoniano è un'espressione abbastanza lunga, tuttavia, quindi l'equazione completa può essere scritta come:
- \\ frac {ℏ ^ 2} {2m} \\ frac {\\ partial ^ 2 Ψ} {\\ partial x ^ 2} + V (x) Ψ \u003d\u003d iℏ \\ frac {\\ partialΨ} {\\ partial t}

Notando che a volte (per problemi esplicitamente tridimensionali), la prima derivata parziale viene scritta come operatore lappone ∇ ^{2 . In sostanza, l'hamiltoniano agisce sulla funzione d'onda per descriverne l'evoluzione nello spazio e nel tempo. Ma nella versione indipendente dal tempo dell'equazione (cioè quando il sistema non dipende da t
), l'hamiltoniano fornisce l'energia del sistema.}

Risolvere l'equazione di Schrodinger significa trovare la funzione d'onda meccanica quantistica che la soddisfa per una particolare situazione.
L'equazione di Schrodinger dipendente dal tempo

L'equazione di Schrodinger dipendente dal tempo è la versione della sezione precedente e descrive l'evoluzione dell'onda funzione per una particella nel tempo e nello spazio. Un semplice caso da considerare è una particella libera perché l'energia potenziale V
\u003d 0 e la soluzione assume la forma di un'onda piana. Queste soluzioni hanno la forma:
Ψ \u003d Ae ^ {kx −ωt}

Dove k
\u003d 2π / λ,
λ
è la lunghezza d'onda e ω
\u003d E
/ℏ.

Per altre situazioni, la parte di energia potenziale dell'equazione originale descrive le condizioni al contorno per la parte spaziale della funzione d'onda, ed è spesso separato in una funzione di evoluzione temporale e in un'equazione indipendente dal tempo.
L'equazione di Schrodinger indipendente dal tempo

Per situazioni statiche o soluzioni che formano onde stazionarie (come il pozzo potenziale, " particella in una scatola "soluzioni di stile), puoi separare la funzione d'onda in parti di spazio e di tempo:
Ψ (x, t) \u003d Ψ (x) f (t)

Quando lo attraversi per intero, la porzione di tempo può essere cancellata, lasciando una forma dell'equazione di Schrodinger che solo
dipende dalla posizione della particella. La funzione d'onda indipendente dal tempo è quindi data da:
H Ψ (x) \u003d E Ψ (x)

Qui E
è l'energia del sistema meccanico quantistico e H
è l'operatore hamiltoniano. Questa forma dell'equazione assume la forma esatta di un'equazione di autovalore, con la funzione d'onda come autofunzione e l'energia come autovalore quando viene applicato l'operatore hamiltoniano. Espandendo l'Hamiltoniano in una forma più esplicita, può essere scritto per intero come:
- \\ frac {ℏ ^ 2} {2m} \\ frac {\\ partial ^ 2 Ψ} {\\ partial x ^ 2} + V ( x) Ψ \u003d E Ψ (x)

La parte temporale dell'equazione è contenuta nella funzione:
f (t) \u003d e ^ {\\ frac {iEt} {ℏ}} Soluzioni per l'indipendenza dal tempo Equazione di Schrodinger

L'equazione di Schrodinger indipendente dal tempo si presta bene a soluzioni abbastanza semplici perché riduce l'intera forma dell'equazione. Un esempio perfetto di ciò è il gruppo di soluzioni “particella in una scatola” in cui si presume che la particella si trovi in un pozzo di potenziale quadrato infinito in una dimensione, quindi non c'è potenziale (cioè V
\u003d 0) dappertutto, e non vi è alcuna possibilità che la particella venga trovata al di fuori del pozzo.

Esiste anche un pozzo quadrato finito, in cui il potenziale alle "pareti" del pozzo non è infinito e anche se è più in alto dell'energia della particella, c'è una certa possibilità di trovare la particella al di fuori di essa a causa del tunnel quantico. Per il potenziale infinito, le soluzioni prendono la forma:
Ψ (x) \u003d \\ sqrt {\\ frac {2} {L}} \\ sin \\ bigg (\\ frac {nπ} {L} x \\ bigg)

Dove L
è la lunghezza del pozzo.

Un potenziale di funzione delta è un concetto molto simile al pozzo potenziale, tranne con la larghezza L che va a zero (ovvero essere infinitesimale attorno a un singolo punto) e la profondità del pozzo va all'infinito, mentre il prodotto dei due ( U
_{0) rimane costante. In questa situazione molto idealizzata, esiste un solo stato associato, dato da:
Ψ (x) \u003d \\ frac {\\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \\ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \\ vert x \\ vert}}

Con energia:
E \u003d - \\ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2} Soluzione di atomo di idrogeno all'equazione di Schrodinger

Infine, la soluzione di atomo di idrogeno ha ovvie applicazioni alla fisica del mondo reale, ma in pratica la situazione di un elettrone attorno al nucleo di un atomo di idrogeno può essere vista come abbastanza simile ai potenziali problemi del pozzo. Tuttavia, la situazione è tridimensionale ed è meglio descritta in coordinate sferiche r
, θ
, ϕ
. La soluzione in questo caso è data da:
Ψ (x) \u003d NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\\ cos θ) e ^ {imϕ}

Where P
sono i polinomi di Legendre, R
sono soluzioni radiali specifiche e N
è una costante che correggi usando il fatto che la funzione d'onda dovrebbe essere normalizzata. L'equazione produce livelli di energia dati da:
E \u003d - \\ frac {\\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}

Dove Z
qui è il numero atomico (quindi Z
\u003d 1 per un atomo di idrogeno), e
in questo caso è la carica di un elettrone (piuttosto che la costante e
\u003d 2.7182818 ...), ϵ
_{0 è la permittività dello spazio libero e μ
è la massa ridotta, che si basa sulle masse del protone e dell'elettrone in un atomo di idrogeno. Questa espressione è buona per qualsiasi atomo simile all'idrogeno, intendendo qualsiasi situazione (compresi gli ioni) in cui vi è un elettrone in orbita attorno a un nucleo centrale.}