La differenza tra meccanica classica e meccanica quantistica è enorme. Mentre nella meccanica classica particelle e oggetti hanno posizioni chiaramente definite, nella meccanica quantistica (prima di una misurazione) si può dire che una particella ha solo una gamma di posizioni possibili, che sono descritte in termini di probabilità dalla funzione d'onda. >

L'equazione di Schrodinger definisce la funzione d'onda dei sistemi di meccanica quantistica e imparare a usarla e interpretarla è una parte importante di qualsiasi corso di meccanica quantistica. Uno degli esempi più semplici di una soluzione a questa equazione è per una particella in una scatola.
La funzione d'onda

Nella meccanica quantistica, una particella è rappresentata da una funzione d'onda. Questo di solito è indicato dalla lettera greca psi ( Ψ
) e dipende sia dalla posizione che dal tempo, e contiene tutto ciò che può essere conosciuto sulla particella.

Il modulo di questa funzione al quadrato indica la probabilità che la particella venga trovata nella posizione x
al momento t
, a condizione che la funzione sia “normalizzata”. Ciò significa semplicemente regolato in modo che sia certo di trovarlo in alcune posizioni
x
al momento t
quando i risultati in ogni posizione vengono sommati, ovvero la condizione di normalizzazione dice che:
\\ int _ {- \\ infty} ^ \\ infty \\ vertΨ \\ vert ^ 2 \u003d 1

Puoi usare la funzione d'onda per calcolare il valore di aspettativa per la posizione di una particella al momento t
, dove il valore di aspettativa significa solo il valore medio che otterrai per x
se ripetessi la misurazione un gran numero di volte. Ovviamente, ciò non significa che sarà il risultato che otterresti per una determinata misurazione - è efficacemente casuale, sebbene alcune posizioni siano di solito sostanzialmente più probabili di altre.

Esistono molte altre quantità per le quali è possibile calcolare i valori di aspettativa, come i valori di quantità di moto e di energia, nonché molte altre "osservabili".
Equazione di Schrodinger

L'equazione di Schrodinger è un'equazione differenziale utilizzata per trova il valore per la funzione d'onda e le autostrade per l'energia della particella. L'equazione può essere derivata dalla conservazione dell'energia e dalle espressioni per l'energia cinetica e potenziale di una particella. Il modo più semplice per scriverlo è:
H (Ψ) \u003d iℏ \\ frac {\\ partialΨ} {\\ partial t}

Ma qui H
rappresenta l'operatore hamiltoniano, che di per sé è un espressione abbastanza lunga:
H \u003d \\ frac {−ℏ} {2m} \\ frac {\\ partial ^ 2} {\\ partial x ^ 2} + V (x)

Qui, m
è la massa, ℏ è la costante di Planck divisa per 2π e V
( x
) è una funzione generale per l'energia potenziale del sistema. L'Hamiltoniano ha due parti distinte: il primo termine è l'energia cinetica del sistema e il secondo termine è l'energia potenziale.

Ogni valore osservabile nella meccanica quantistica è associato a un operatore e nel tempo indipendente versione dell'equazione di Schrodinger, l'Hamiltoniano è l'operatore energetico. Tuttavia, nella versione dipendente dal tempo mostrata sopra, l'Hamiltoniano genera anche l'evoluzione temporale della funzione d'onda.

Combinando tutte le informazioni contenute nell'equazione, puoi descrivere l'evoluzione della particella nello spazio e tempo e prevedere i possibili valori energetici anche per esso.
L'equazione di Schrodinger indipendente dal tempo

La parte dell'equazione dipendente dal tempo può essere rimossa - per descrivere una situazione che non si evolve notevolmente con il tempo - separando la funzione d'onda in parti di spazio e tempo: Ψ
( x
, t
) \u003d Ψ
( x
) f
( t
). Le parti dipendenti dal tempo possono quindi essere cancellate dall'equazione, che lascia la versione indipendente dal tempo dell'equazione di Schrodinger:
H Ψ (x) \u003d E (Ψ (x))

E
è l'energia del sistema. Questo ha la forma esatta di un'equazione di autovalore, con Ψ
( x
) come autofunzione, e E
è l'autovalore, motivo per cui l'indipendente dal tempo l'equazione è spesso chiamata equazione di autovalore per l'energia di un sistema meccanico quantistico. La funzione tempo è data semplicemente da:
f (t) \u003d e ^ {- iEt /ℏ}

L'equazione indipendente dal tempo è utile perché semplifica i calcoli per molte situazioni in cui l'evoluzione del tempo non è particolarmente cruciale . Questa è la forma più utile per i problemi di "particella in una scatola" e anche per determinare i livelli di energia degli elettroni attorno a un atomo.
Particella in una scatola (pozzo quadrato infinito)

Una delle soluzioni più semplici l'equazione di Schrodinger indipendente dal tempo è per una particella in un pozzo quadrato infinitamente profondo (cioè un pozzo potenziale infinito), o una scatola unidimensionale di lunghezza base L
. Naturalmente, queste sono idealizzazioni teoriche, ma danno un'idea di base di come risolvi l'equazione di Schrodinger senza tenere conto di molte delle complicazioni che esistono in natura.

Con l'energia potenziale impostata a 0 fuori dal pozzo dove anche la densità di probabilità è 0, l'equazione di Schrodinger per questa situazione diventa:
\\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \\ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} \u003d E Ψ (x)

E la soluzione generale per un'equazione di questa forma è:
Ψ (x) \u003d A \\ sin (kx) + B \\ cos (kx)

Tuttavia, osservare le condizioni al contorno può aiutare a restringere questo . Per x
\u003d 0 e x
\u003d L, ovvero i lati della scatola o le pareti del pozzo, la funzione d'onda deve andare a zero. La funzione coseno ha un valore di 1 quando l'argomento è 0, quindi per soddisfare le condizioni al contorno, la costante B
deve essere uguale a zero. Questo lascia:
Ψ (x) \u003d A \\ sin (kx)

Puoi anche usare le condizioni al contorno per impostare un valore per k
. Poiché la funzione sin va a zero con i valori n_π, dove numero quantico _n
\u003d 0, 1, 2, 3 ... e così via, ciò significa che x
\u003d L
, l'equazione funzionerà solo se k
\u003d n_π /_L
. Infine, puoi usare il fatto che la funzione d'onda deve essere normalizzata per trovare il valore di A
(integra tutti i possibili valori x
, cioè da 0 a L
, quindi imposta il risultato uguale a 1 e riordina), per arrivare all'espressione finale:
Ψ (x) \u003d \\ sqrt {\\ frac {2} {L}} \\ sin \\ bigg (\\ frac {nπ} {L} x \\ bigg)

Usando l'equazione originale e questo risultato, puoi quindi risolvere per E
, che produce:
E \u003d \\ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}

Nota che il fatto che n
sia in questa espressione significa che i livelli di energia sono quantizzati
, quindi non possono prendere alcun
valore, ma solo un insieme discreto di valori specifici di livello di energia a seconda della massa della particella e della lunghezza della scatola.
Particella in una scatola (pozzo quadrato finito)

Lo stesso problema diventa un po 'più complicato se il potenziale pozzo ha un'altezza della parete finita. Ad esempio, se il potenziale V
( x
) assume il valore V
_{0 al di fuori del pozzo potenziale e 0 al suo interno, la funzione d'onda può essere determinato nelle tre regioni principali interessate dal problema. Questo è un processo più coinvolto, tuttavia, quindi qui sarai in grado di vedere solo i risultati anziché eseguire l'intero processo.}

Se il pozzo è in x
\u003d 0 a x
\u003d L
di nuovo, per la regione in cui x
<0 la soluzione è:
Ψ (x) \u003d Be ^ {kx}

Per la regione x
> L
, è:
Ψ (x) \u003d Ae ^ {- kx}

Dove
k \u003d \\ sqrt {\\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}

Per la regione all'interno del pozzo, dove 0 < x
< L
, la soluzione generale è:
Ψ (x) \u003d C \\ sin (wx) + D \\ cos (wx)

Dove
w \u003d \\ sqrt {\\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}

È quindi possibile utilizzare le condizioni al contorno per determinare i valori delle costanti A
, B
, C
e D
, rilevando che oltre ad avere valori definiti alle pareti del pozzo, la funzione d'onda e la sua prima derivata devono essere continue ovunque, e la funzione d'onda deve essere finita ovunque.

In altri casi, come scatole poco profonde, scatole strette e molte altre situazioni specifiche, ci sono approssimazioni e diverse soluzioni che puoi trovare.