Un'equazione quadratica è quella che contiene una singola variabile e in cui la variabile è quadrata. La forma standard per questo tipo di equazione, che produce sempre una parabola quando viene rappresentata graficamente, è ax
<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0, dove < em> a
, b
e c
sono costanti. Trovare soluzioni non è così semplice come per un'equazione lineare, e parte del motivo è che, a causa del termine al quadrato, ci sono sempre due soluzioni. È possibile utilizzare uno dei tre metodi per risolvere un'equazione quadratica. Puoi fattorizzare i termini, che funzionano meglio con equazioni più semplici, oppure puoi completare il quadrato. Il terzo metodo consiste nell'utilizzare la formula quadratica, che rappresenta una soluzione generalizzata per ogni equazione quadratica.
La formula quadratica</sup>

Per un'equazione quadratica generale della forma ax
<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0, le soluzioni sono date da questa formula:</sup>

x
\u003d [- b
± √ ( b
^{2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_}

Notare che il segno ± all'interno delle parentesi indica che ci sono sempre due soluzioni. Una delle soluzioni utilizza [- b
+ √ ( b
<sup>2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_ e l'altra soluzione utilizza [- b
- √ ( b
2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_.
Utilizzo della formula quadratica</sup>

Prima di poter utilizzare la formula quadratica, devi accertarti che l'equazione è in forma standard. Potrebbe non essere. Alcuni termini x
^{2 potrebbero trovarsi su entrambi i lati dell'equazione, quindi dovrai raccoglierli sul lato destro. Fai lo stesso con tutti i termini e le costanti x.}

Esempio: trova le soluzioni all'equazione 3_x_ ^{2 - 12 \u003d 2_x_ ( x
-1).}

1. Converti in modulo standard
   
   

   Espandi le parentesi:
   

   3_x_ ^{2 - 12 \u003d 2_x_ 2 - 2_x_}
   

   Sottrai 2_x_ ^{2 e da entrambi i lati. Aggiungi 2_x_ su entrambi i lati}
   

   3_x_ ^{2 - 2_x_ 2 + 2_x_ - 12 \u003d 2_x_ 2 -2_x_ 2 -2_x_ + 2_x_}
   

   3_x_ < sup> 2 - 2_x_ ^{2 + 2_x_ - 12 \u003d 0}
   

   x
   ^{2 - 2_x_ -12 \u003d 0}
   

   Questa equazione è in forma standard ax
   <sup>2 + bx
   + c
   \u003d 0 dove a
   \u003d 1, b
   \u003d −2 e c
   \u003d 12</sup>
   

2. Inserisci i valori di a, bec nella formula quadratica
   
   

   La formula quadratica è
   

   x
   \u003d [- b
   ± √ ( b
   ^{2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_}
   

   Poiché a
   \u003d 1, b
   \u003d −2 e c
   \u003d −12, questo diventa
   

   x
   \u003d [- (−2) ± √ {( −2) ^{2 - 4 (1 × −12)}] ÷ 2 (1)}
   

3. Semplifica
   
   

   x
   \u003d [2 ± √ {4 + 48}] ÷ 2.
   

   x
   \u003d [2 ± √52] ÷ 2
   

   x
   \u003d [2 ± 7.21] ÷ 2
   

   x
   \u003d 9.21 ÷ 2 e x
   \u003d −5.21 ÷ 2
   

   x
   \u003d 4.605 e x
   \u003d −2.605
   
   Altri due modi per risolvere equazioni quadratiche
   

   È possibile risolvere equazioni quadratiche fattorizzando. Per fare ciò, indovina più o meno una coppia di numeri che, sommati, danno la costante b
   e, quando moltiplicati insieme, danno la costante c
   . Questo metodo può essere difficile quando sono coinvolte le frazioni. e non funzionerebbe bene per l'esempio sopra.
   

   L'altro metodo è completare il quadrato. Se hai un'equazione in forma standard, ax
   <sup>2 + bx
   + c
   \u003d 0, metti c
   a destra lato e aggiungi il termine ( b
   /2) 2 su entrambi i lati. Ciò consente di esprimere il lato sinistro come ( x
   + d
   ) 2, dove d
   è una costante. Puoi quindi prendere la radice quadrata di entrambi i lati e risolvere x
   . Ancora una volta, l'equazione nell'esempio sopra è più facile da risolvere usando la formula quadratica.</sup>