La distanza euclidea è la distanza tra due punti nello spazio euclideo. Lo spazio euclideo fu originariamente ideato dal matematico greco Euclide intorno al 300 a.C. studiare le relazioni tra angoli e distanze. Questo sistema di geometria è ancora in uso oggi ed è quello che gli studenti delle scuole superiori studiano più spesso. La geometria euclidea si applica specificamente agli spazi di due e tre dimensioni. Tuttavia, può essere facilmente generalizzato a dimensioni di ordine superiore.

Calcola la distanza euclidea per una dimensione. La distanza tra due punti in una dimensione è semplicemente il valore assoluto della differenza tra le loro coordinate. Matematicamente, questo è mostrato come | p1 - ​​q1 |  dove p1 è la prima coordinata del primo punto e q1 è la prima coordinata del secondo punto. Usiamo il valore assoluto di questa differenza poiché normalmente si considera che la distanza abbia solo un valore non negativo.

Prendi due punti P e Q nello spazio euclideo bidimensionale. Descriveremo P con le coordinate (p1, p2) e Q con le coordinate (q1, q2). Ora costruisci un segmento di linea con i punti finali di P e Q. Questo segmento di linea formerà l'ipotenusa di un triangolo rettangolo. Estendendo i risultati ottenuti nel passaggio 1, notiamo che le lunghezze delle gambe di questo triangolo sono date da | p1 - ​​q1 |  e | p2 - q2 | . La distanza tra i due punti verrà quindi indicata come la lunghezza dell'ipotenusa.
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Usa il teorema di Pitagora per determinare la lunghezza dell'ipotenusa nel passo 2. Questo teorema afferma che c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 dove c è la lunghezza dell'ipotenusa del triangolo destro e a, b sono le lunghezze delle altre due gambe. Questo ci dà c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). La distanza tra 2 punti P = (p1, p2) e Q = (q1, q2) nello spazio bidimensionale è quindi ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).

Estendi i risultati del passaggio 3 allo spazio tridimensionale. La distanza tra i punti P = (p1, p2, p3) e Q = (q1, q2, q3) può quindi essere data come ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).

Generalizza la soluzione al punto 4 per la distanza tra due punti P = (p1, p2, ..., pn) e Q = (q1, q2,. .., qn) in n dimensioni. Questa soluzione generale può essere data come ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + ... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).