Con il Super Bowl proprio dietro l'angolo, gli atleti e i fan del mondo si concentrano fermamente sul grande gioco. Ma per _math_letes, il grande gioco potrebbe far pensare a un piccolo problema relativo ai possibili punteggi in una partita di calcio. Con solo opzioni limitate per la quantità di punti che puoi segnare, alcuni totali semplicemente non possono essere raggiunti, ma qual è il più alto? Se vuoi sapere cosa lega monete, calcio e pepite di pollo di McDonald's, questo è un problema per te.
Il problema della Super Bowl Math

Il problema riguarda i possibili punteggi sia dei Rams di Los Angeles che dei Nuovi Inghilterra I patrioti potrebbero raggiungere domenica senza una sicurezza o una conversione a due punti. In altre parole, i modi consentiti per aumentare i loro punteggi sono gli obiettivi in ​​campo a 3 punti e touchdown a 7 punti. Quindi, senza sicurezze, non è possibile ottenere un punteggio di 2 punti in una partita con qualsiasi combinazione di 3 e 7. Allo stesso modo, non puoi raggiungere neanche il punteggio di 4, né puoi totalizzare 5.

La domanda è: qual è il punteggio più alto che non può essere raggiunto con solo 3 punti field goals e touchdown a 7 punti?
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Naturalmente, touchdown senza una conversione valgono 6, ma dato che puoi ottenerlo comunque con due field goal, non ha importanza per il problema. Inoltre, dal momento che abbiamo a che fare con la matematica qui, non devi preoccuparti delle tattiche della squadra specifica o anche dei limiti sulla loro capacità di segnare punti.

Cerca di risolverlo da solo prima di andare avanti!
Trovare una soluzione (il modo lento)

Questo problema ha alcune soluzioni matematiche complesse (vedi Risorse per i dettagli completi, ma il risultato principale verrà presentato di seguito), ma è un buon esempio di come questo non sia t necessario per trovare la risposta.

Tutto quello che devi fare per trovare una soluzione a forza bruta è semplicemente provare ciascuno dei punteggi a turno. Quindi sappiamo che non puoi segnare 1 o 2, perché sono meno di 3. Abbiamo già stabilito che 4 e 5 non sono possibili, ma 6 è, con due field goal. Dopo 7 (che è possibile), puoi segnare 8? No. Tre obiettivi in ​​campo danno 9, e un field goal e un touchdown convertito fa 10. Ma non puoi ottenere 11.

Da questo punto in poi, un po 'di lavoro mostra che:
\\ begin {aligned} 3 × 4 &= 12 \\\\ 7 + (3 × 2) &= 13 \\\\ 7 × 2 &= 14 \\\\ 3 × 5 &= 15 \\\\ 7 + (3 × 3) &= 16 \\\\ (7 × 2) + 3 &= 17 \\ end {aligned}

E in effetti, puoi continuare così per tutto il tempo che desideri. La risposta sembra essere 11. Ma è così?
La soluzione algebrica

I matematici chiamano questi problemi "Problemi con le monete di Frobenius". La forma originale relativa alle monete, come: Se avevi solo monete valutate 4 centesimi e 11 centesimi (non monete reali, ma ancora, questo è un problema di matematica per te), qual è la più grande quantità di denaro che non potresti produrre.

La soluzione, in termini di algebra, è che con una punteggio punti p e un punteggio per punti q, il punteggio più alto che non è possibile ottenere ( N
) è dato da:
N = pq \\; - \\; (p + q)

Quindi collegare i valori del problema Super Bowl dà:
\\ begin {aligned} N &= 3 × 7 \\; - \\; (3 + 7) \\\\ &= 21 \\; - \\; 10 \\\\ &= 11 \\ end {align}

Qual è la risposta che abbiamo ottenuto in modo lento. Quindi, se potessi totalizzare solo touchdown senza conversione (6 punti) e touchdown con conversioni in un punto (7 punti)? Verifica se puoi utilizzare la formula per risolverlo prima di continuare a leggere.

In questo caso, la formula diventa:
\\ begin {aligned} N &= 6 × 7 \\; - \\; (6 + 7) \\\\ &= 42 \\; - \\; 13 \\\\ &= 29 \\ end {aligned} Il problema Chicken McNugget

Quindi il gioco è finito e vuoi premiare la squadra vincente con un viaggio a McDonald's. Ma vendono solo McNuggets in scatole da 9 o 20. Quindi qual è il numero più alto di pepite che non puoi comprare con questi numeri di casella (obsoleti)? Prova a utilizzare la formula per trovare la risposta prima di continuare a leggere.

Poiché
N = pq \\; - \\; (p + q)

E con p
= 9 e q
= 20:
\\ begin {aligned} N &= 9 × 20 \\; - \\; (9 + 20) \\\\ &= 180 \\; - \\; 29 \\\\ &= 151 \\ end {aligned}

Quindi, purché stessimo comprando più di 151 pepite - la squadra vincente probabilmente sarà molto affamata, dopotutto - potreste comprare qualsiasi numero di pepite che volevate con una combinazione di scatole.

Ci si potrebbe chiedere perché abbiamo coperto solo le versioni a due numeri di questo problema. E se incorporassimo delle sicurezze, o se McDonalds vendesse tre taglie di scatole di nugget? In questo caso non è una formula chiara, e mentre la maggior parte delle versioni di esso può essere risolta, alcuni aspetti della domanda sono completamente non risolti.

Quindi forse quando stai guardando il gioco o mangiare pezzetti di pollo piccolissimi, puoi affermare che stai cercando di risolvere un problema aperto in matematica: vale la pena provare a uscire dalle faccende domestiche!