Di Lisa Maloney
12 marzo 2023 1:49 EST

Igor Kutyaev/iStock/GettyImages

La crescita esponenziale appare spesso nel linguaggio quotidiano, ma i suoi fondamenti matematici sono precisi ed essenziali per molti scenari del mondo reale. Che tu stia monitorando la proliferazione batterica, valutando l’interesse composto o modellando le dinamiche della popolazione, si applica la stessa formula di base. Per risolvere la crescita esponenziale, avrai bisogno del valore iniziale, del tasso di crescita o decadimento e del tempo trascorso.

La formula della crescita esponenziale

La rappresentazione più comune è:

f(t) = a × ekt

dove a è il valore iniziale, k è la costante di crescita (o decadimento) continua, t è il tempo e f(t) è il valore al momento t . Il numero di Eulero (e ≈ 2.71828) è la base dei logaritmi naturali e il fondamento del cambiamento esponenziale continuo.

In alternativa, viene spesso utilizzata la forma dell'interesse composto:

f(t) = a(1+r)t

Ecco, r rappresenta un tasso di crescita discreto (ad esempio, l'interesse annuo) e l'esponente tiene traccia dei periodi trascorsi.

Derivare il tasso di crescita dai dati osservati

Consideriamo un microbiologo che misura una nuova specie batterica. Inizia con 50 celle e, cinque ore dopo, ne registra 550.

Inserendo questi numeri nel modello continuo:

550 = 50 × ek×5

Dividi entrambi i membri per 50 per isolare il termine esponenziale:

11 = e5k

Prendi il logaritmo naturale di ciascun lato:

ln(11) = 5k

Infine, risolvi k :

k = ln(11) / 5 ≈ 0.48 · hr-1

Questo tasso indica la rapidità con cui la popolazione si espande. Per proiettare la dimensione dopo 10 ore, inserisci semplicemente t =10 nella formula utilizzando la k derivata valore.

Quando il tasso è inferiore a uno

Un tasso k sotto lo zero indica un decadimento esponenziale:ogni periodo produce meno individui. In finanza, questo scenario rappresenta spesso una crescita negativa o un accumulo di debito. Si applicano le stesse equazioni; il segno di k determina se la tendenza è di crescita o di declino.

Applicazioni nel mondo reale della crescita esponenziale

• Interesse composto: Conti di risparmio, mutui e rendimenti degli investimenti aumentano esponenzialmente nel tempo.
• Decadimento radioattivo: I calcoli dell'emivita si basano sul decadimento esponenziale per prevedere quando metà di un campione si sarà trasformata.
• Raddoppio del tempo: Sia in biologia che in finanza, il tempo di raddoppio indica quanto tempo impiega una quantità a raddoppiare dato un tasso di crescita costante.

Per calcolare il tempo di dimezzamento o raddoppiare il tempo, imposta l'output della formula su metà o due volte il valore iniziale e risolvi rispetto al tempo.