Una delle operazioni più importanti che fai nel calcolo è la ricerca di derivati. La derivata di una funzione è anche chiamata velocità di cambiamento di quella funzione. Ad esempio, se x (t) è la posizione di una macchina in qualsiasi momento t, allora la derivata di x, che è scritta dx /dt, è la velocità dell'auto. Inoltre, la derivata può essere visualizzata come la pendenza di una linea tangente al grafico di una funzione. A livello teorico, è così che i matematici trovano i derivati. In pratica, i matematici usano serie di regole di base e tabelle di ricerca.
La derivata come pendenza
La pendenza di una linea tra due punti è l'ascesa, o la differenza in valori y divisa per il corri, o differenza in x valori. L'inclinazione di una funzione y (x) per un certo valore di x è definita come la pendenza di una linea che è tangente alla funzione nel punto [x, y (x)]. Per calcolare la pendenza costruisci una linea tra il punto [x, y (x)] e un punto vicino [x + h, y (x + h)], dove h è un numero molto piccolo. Per questa linea, la corsa, o la modifica del valore x è h, e l'aumento o la modifica del valore y è y (x + h) - y (x). Di conseguenza, la pendenza di y (x) nel punto [x, y (x)] è approssimativamente uguale a [y (x + h) - y (x)] /[(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] /h. Per ottenere esattamente la pendenza, si calcola il valore della pendenza quando h diventa sempre più piccola, fino al "limite" dove va a zero. La pendenza calcolata in questo modo è la derivata di y (x), che è scritta come y '(x) o dy /dx.
Derivata di una funzione di potenza
È possibile utilizzare il metodo pendenza /limite per calcolare le derivate di funzioni in cui y è uguale a x alla potenza di a, o y (x) = x ^ a. Ad esempio, se y è uguale a x cubato, y (x) = x ^ 3, quindi dy /dx è il limite quando h passa a zero di [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] /h. Espansione (x + h) ^ 3 dà [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] /h, che si riduce a 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 dopo averlo diviso da h. Nel limite quando h va a zero, anche tutti i termini che hanno h in essi vanno a zero. Quindi, y '(x) = dy /dx = 3x ^ 2. Puoi farlo per valori diversi da 3 e, in generale, puoi mostrare che d /dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).
Derivato da una serie Power
Molte funzioni possono essere scritte come quelle che sono chiamate serie di potenze, che sono la somma di un numero infinito di termini, dove ognuno è della forma C (n) x ^ n, dove x è un variabile, n è un numero intero e C (n) è un numero specifico per ogni valore di n. Ad esempio, la serie di potenze per la funzione seno è Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ..., dove "..." significa termini che continuano su all'infinito. Se si conoscono le serie di potenze per una funzione, è possibile utilizzare la derivata della potenza x ^ n per calcolare la derivata della funzione. Ad esempio, la derivata di Sin (x) è uguale a 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ..., che sembra essere la serie di potenze per Cos (x).
Derivati dalle tabelle
Le derivate delle funzioni di base come i poteri x ^ a, le funzioni esponenziali, le funzioni di registro e le funzioni trigonometriche, si trovano usando il metodo slope /limit, il metodo delle serie di potenze o altri metodi. Questi derivati sono quindi elencati nelle tabelle. Ad esempio, puoi cercare che la derivata di Sin (x) sia Cos (x). Quando le funzioni complesse sono combinazioni delle funzioni di base, sono necessarie regole speciali come la regola della catena e la regola del prodotto, che vengono anche riportate nelle tabelle. Ad esempio, si usa la regola della catena per scoprire che la derivata di Sin (x ^ 2) è 2xCos (x ^ 2). Si utilizza la regola del prodotto per scoprire che la derivata di xSin (x) è xCos (x) + Sin (x). Usando tabelle e regole semplici, puoi trovare la derivata di qualsiasi funzione. Ma quando una funzione è estremamente complessa, gli scienziati a volte ricorrono a programmi informatici per l'aiuto.
