Esiste un'enorme differenza tra la ricerca degli asintoti verticali del grafico di una funzione razionale e la ricerca di un foro nel grafico di quella funzione. Anche con i moderni calcolatori grafici che abbiamo, è molto difficile vedere o identificare che c'è un buco nel grafico. Questo articolo mostrerà come identificare sia analiticamente che graficamente.

Useremo una funzione Rational come esempio per mostrare analiticamente, come trovare un asintoto verticale e un buco nel grafico di quella funzione. Lascia che sia la funzione Rational, ... f (x) = (x-2) /(x² - 5x + 6).

Fattorizzazione del denominatore di f (x) = (x-2) /( x² - 5x + 6). Otteniamo la seguente funzione equivalente, f (x) = (x-2) /[(x-2) (x-3)]. Ora se il Denominatore (x-2) (x-3) = 0, allora la funzione Razionale sarà Non Definito, cioè il caso di Divisione per Zero (0). Si prega di consultare l'articolo 'Come dividere per zero (0)', scritto da questo stesso autore, Z-MATH.

Noteremo che Divisione per Zero, è Non definito solo se l'espressione Razionale ha un Numeratore che non è uguale a Zero (0), e il Denominatore è uguale a Zero (0), in questo caso il Grafico della funzione andrà senza limiti verso Infinito Positivo o Negativo al valore di x che fa sì che l'espressione del Denominatore sia uguale a Zero . È a questa x che disegniamo una Linea Verticale, chiamata Asintoto verticale.

Ora se il Numeratore e il Denominatore dell'espressione Razionale sono entrambi Zero (0), per lo stesso valore di x, allora il Divisione per zero a questo valore di x è detto "senza significato" o indeterminato, e abbiamo un buco nel grafico a questo valore di x.

Quindi, nella funzione razionale f (x) = ( x-2) /[(x-2) (x-3)], vediamo che in x = 2 o x = 3, il Denominatore è uguale a Zero (0). Ma a x = 3, notiamo che il numeratore è uguale a (1), cioè f (3) = 1/0, quindi un asintoto verticale a x = 3. Ma a x = 2, abbiamo f (2 ) = 0/0, 'senza significato'. C'è un Buco nel Grafico in x = 2.

Possiamo trovare le coordinate del Buco trovando una funzione Razionale equivalente a f (x), che ha tutti gli stessi punti di f (x) tranne nel punto in x = 2. Cioè, sia g (x) = (x-2) /[(x-2) (x-3)], x ≠ 2, quindi riducendo ai minimi termini abbiamo g (x) = 1 /(x- 3). Sostituendo x = 2, in questa funzione otteniamo g (2) = 1 /(2-3) = 1 /(- 1) = -1. quindi il buco nel grafico di f (x) = (x-2) /(x² - 5x + 6), è a (2, -1).