L'equazione di un piano nello spazio tridimensionale può essere scritta in notazione algebrica come ax + di + cz = d, dove almeno una delle costanti del numero reale "a", "b" e "c" non deve essere zero e "x", "y" e "z" rappresentano gli assi del piano tridimensionale. Se vengono assegnati tre punti, è possibile determinare il piano usando i prodotti a croce vettoriale. Un vettore è una linea nello spazio. Un prodotto incrociato è la moltiplicazione di due vettori.

Ottieni i tre punti sul piano. Etichettali "A", "B" e "C." Ad esempio, si supponga che questi punti siano A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); e C = (1, 3, 4).

Trova due diversi vettori sul piano. Nell'esempio, scegliere i vettori AB e AC. Il vettore AB passa dal punto A al punto B e il vettore CA passa dal punto A al punto C. Quindi sottrai ogni coordinata nel punto-A da ogni coordinata nel punto-B per ottenere il vettore AB: (-2, 3, 1). Allo stesso modo, il vettore AC è punto-C meno punto-A, o (-2, 2, 3).

Calcola il prodotto incrociato dei due vettori per ottenere un nuovo vettore, che è normale (o perpendicolare o ortogonale) a ciascuno dei due vettori e anche al piano. Il prodotto incrociato di due vettori, (a1, a2, a3) e (b1, b2, b3), è dato da N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). Nell'esempio, il prodotto incrociato, N, di AB e AC è i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [( -2 x 2) - (3x - 2)], che si semplifica in N = 7i + 4j + 2k. Nota che "i", "j" e "k" sono usati per rappresentare le coordinate del vettore.

Ricavare l'equazione del piano. L'equazione del piano è Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, dove (a1, a2, a3) è un qualsiasi punto nel piano e (Ni, Nj, Nk ) è il vettore normale, N. Nell'esempio, utilizzando il punto C, che è (1, 3, 4), l'equazione del piano è 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, che semplifica a 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0, o 7x + 4y + 2z = 27.

Verifica la tua risposta. Sostituisci i punti originali per vedere se soddisfano l'equazione del piano. Per concludere l'esempio, se sostituisci uno qualsiasi dei tre punti, vedrai che l'equazione del piano è effettivamente soddisfatta.

Suggerimento

Vedi Risorse per suggerimenti su come utilizzare i sistemi di tre equazioni simultanee per trovare l'equazione di un piano.