Quando inizi con tre equazioni e tre incognite (variabili), potresti pensare di avere abbastanza informazioni da risolvere per tutte le variabili. Tuttavia, quando si risolve un sistema di equazioni lineari usando il metodo di eliminazione, è possibile che il sistema non sia sufficientemente determinato per trovare una risposta univoca, e invece è possibile un numero infinito di soluzioni. Ciò si verifica quando l'informazione in una delle equazioni nel sistema è ridondante alle informazioni contenute nelle altre equazioni.

Un esempio 2x2

3x + 2y = 5 6x + 4y = 10 Questo sistema di equazioni è chiaramente ridondante. Puoi creare un'equazione dall'altra semplicemente moltiplicando per una costante. In altre parole, trasmettono le stesse informazioni. Nonostante esistano due equazioni per le due incognite, xey, la soluzione di questo sistema non può essere ristretta a un valore per x e un valore per y. (x, y) = (1,1) e (5 /3,0) entrambi lo risolvono, come fanno molte altre soluzioni. Questo è il tipo di "problema", questa insufficienza di informazioni, che porta ad un numero infinito di soluzioni anche in sistemi di equazioni più grandi.

Un esempio 3x3

x + y + z = 10 x-y + z = 0 x _ + _ z = 5 [I caratteri di sottolineatura sono usati semplicemente per mantenere la spaziatura.] Con il metodo di eliminazione, elimina x dalla seconda riga sottraendo la seconda riga dal primo, dando x + y + z = 10 _2y = 10 x_ + z = 5 Elimina x dalla terza riga sottraendo la terza riga dal primo. x + y + z = 10 _2y = 10 y = 5 Chiaramente le ultime due equazioni sono equivalenti. y è uguale a 5 e la prima equazione può essere semplificata eliminando y. x + 5 + z = 10 y __ = 5 o x + z = 5 y = 5 Nota che il metodo di eliminazione non produrrà qui una bella forma triangolare, come succede quando esiste una soluzione unica. Invece, l'ultima equazione (se non di più) sarà di per sé assorbita nelle altre equazioni. Il sistema è ora di tre incognite e solo due equazioni. Il sistema è chiamato "sottodeterminato", perché non ci sono abbastanza equazioni per determinare il valore di tutte le variabili. È possibile un numero infinito di soluzioni.

Come scrivere la soluzione infinita

La soluzione infinita per il sistema di cui sopra può essere scritta in termini di una variabile. Un modo di scrivere è (x, y, z) = (x, 5,5-x). Poiché x può assumere un numero infinito di valori, la soluzione può assumere un numero infinito di valori.