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Quando vedi espressioni come 3 2 e 5 3 , puoi leggerli come “tre quadrati” e “cinque cubi”. Queste notazioni compatte ti consentono di calcolare i numeri ordinari equivalenti, rispettivamente 9 e 125, senza espandere la moltiplicazione.
Un esponente, o potenza, denota moltiplicazioni ripetute di una base per se stessa. Ad esempio, 4 5 =4 × 4 × 4 × 4 × 4 =1.024.
Casi speciali includono qualsiasi numero elevato alla prima potenza che rimane invariato e qualsiasi numero elevato alla potenza zero pari a uno:7 2 =49 e 7 0 =1.
Gli esponenti negativi producono reciproci:x -n =1/(x n ). Gli esponenti frazionari rappresentano le radici; ad esempio, 2 5/3 indica la radice cubica di 2 elevata alla quinta potenza.
I logaritmi possono essere visti come l'operazione inversa dell'elevamento a potenza. Rispondono alla domanda:a quale potenza bisogna elevare una base per ottenere un dato numero?
Ad esempio, 10 3 =1.000, che può essere scritto come log10 (1.000) =3. La notazione generale logb (a) =c significa che b c =un.
Sia la base che l'argomento devono essere positivi e la base non può essere uguale a 1. Quando la base viene omessa, si intende 10 (logaritmo comune), mentre il logaritmo naturale utilizza la base e ≈ 2,7183 ed è indicato ln.
Considera l'equazione 50 =4 x . Per isolare l'esponente sconosciuto, prendi il logaritmo di entrambi i membri (è conveniente la base comune 10):
log10 (50) =log10 (4 x ) =x·log10 (4)
Pertanto, x =log10 (50) / log10 (4) . Utilizzando una calcolatrice, registra10 (50) ≈ 1.699 e log10 (4) ≈ 0,602, ottenendo x ≈ 2,82.
Il logaritmo naturale ln (base e) segue gli stessi principi. Ad esempio, risolvi 16 =e 2.7x :
ln(16) =ln(e 2.7x ) =2,7x
Poiché ln(16) ≈ 2.773, troviamo x =2.773 / 2.7 ≈ 1.03.
