Di Ariel Balter, Ph.D. Aggiornato il 30 agosto 2022
Archivio Hulton/Getty Images News/Getty Images
Nel calcolo, la derivata è uno strumento fondamentale che quantifica come cambia una funzione. Ad esempio, se x(t) rappresenta la posizione di un veicolo al momento t , il suo derivato dx/dt dà la velocità del veicolo. Visivamente, la derivata è uguale alla pendenza della linea tangente al grafico della funzione in un dato punto. Sebbene la definizione concettuale si basi sui limiti, in pratica i matematici utilizzano una serie di regole standard e tabelle di ricerca per calcolare rapidamente le derivate.
Concettualmente, la pendenza di una linea retta tra due punti è la salita rispetto al percorso:Δy / Δx . Per una funzione y(x) ad uno specifico x , la derivata è la pendenza della linea che tocca appena la curva in [x, y(x)] . Per approssimare questo, si traccia una linea da [x, y(x)] fino a un punto vicino [x+h, y(x+h)] dove h è molto piccolo. La corsa è h e l'aumento è y(x+h)-y(x) . Pertanto la pendenza è di circa (y(x+h)-y(x))/h . Prendendo il limite come h avvicinandosi allo zero fornisce la pendenza esatta, indicata con y'(x) o dy/dx .
Usando la definizione di limite, possiamo derivare la derivata di una funzione di potenza y(x)=x^a . Ad esempio, se y=x^3 , quindi
dy/dx=lim_{h→0}[(x+h)^3-x^3]/h .
Espansione (x+h)^3 restituisce [(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-x^3]/h=3x^2+3xh^2+h^2 . Come h tende a zero i termini contenenti h svanisce, lasciando y'(x)=3x^2 . In generale, d/dx x^a = a x^{a-1} .
Molte funzioni possono essere espresse come serie di potenze, ovvero somme infinite della forma ∑_{n=0}^{∞}C_n x^n . Ad esempio, la funzione seno si espande in
sin(x)=x- x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + …
La differenziazione termine per termine produce la serie di potenze per cos(x) :
cos(x)=1- x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + …
Sebbene i metodi dei limiti e delle serie di potenze forniscano le basi, i matematici spesso si affidano a tabelle precalcolate per le derivate elementari:d/dx sin x = cos x , d/dx e^x = e^x , d/dx ln x = 1/x , e così via. Per le funzioni composite o di prodotto sono indispensabili regole come la regola della catena e la regola del prodotto. Ad esempio, la regola della catena fornisce d/dx sin(x^2)=2x cos(x^2) e la regola del prodotto fornisce d/dx[x sin x]=x cos x+sin x . Combinando queste regole standard con le tabelle, qualsiasi funzione differenziabile può essere gestita analiticamente. Quando le funzioni diventano estremamente complesse, vengono utilizzati strumenti computazionali come Mathematica o SymPy per automatizzare il processo.
