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Quando è necessario un vettore perpendicolare a un dato vettore, le tecniche del prodotto scalare e del prodotto incrociato forniscono metodi chiari e affidabili. Un prodotto scalare pari a zero segnala ortogonalità, mentre il prodotto incrociato di due vettori non paralleli produce un vettore perpendicolare a entrambi.
Assumi un vettore V sconosciuto =(v1 , v2 ). Questo vettore sarà perpendicolare al vettore noto U =(u1 , u2 ).
Calcola il prodotto scalare:V · U =u1 v1 +u2 v2 . Ad esempio, se U =(–3, 10), quindi V · U =–3v1 +10v2 .
Imposta il prodotto scalare su zero e risolvi per un componente:–3v1 +10v2 =0 ⇒ v2 =(3/10)v1 .
Seleziona un valore qualsiasi per v1; ad esempio, sia v1 =1.
Calcola v2 =0,3. Quindi V =(1, 0,3) è perpendicolare a U =(–3, 10). Scegliendo v1 =–1 dà V ′ =(–1, –0,3), la direzione opposta. Qualsiasi multiplo scalare di uno dei due vettori rimane perpendicolare e la normalizzazione all'unità di lunghezza produce W =V / √(1² + 0,3²) =(1/√10, 0,3/√10).
Definire un vettore sconosciuto V =(v1 , v2 , v3 ).
Calcola il prodotto scalare con un vettore noto U =(10, 4, –1):V · U =10v1 +4v2 – v3 .
Imposta il prodotto scalare su zero, ottenendo l'equazione del piano 10v1 +4v2 – v3 =0. Qualsiasi vettore che soddisfa questa relazione è perpendicolare a U .
Scegli valori convenienti, ad esempio v1 =1 e v2 =1, quindi risolvi per v3 =10 + 4 =14. Questo dà V =(1, 1, 14).
Verifica ortogonalità:V · U =10(1) + 4(1) – 14 =0. Quindi V è infatti perpendicolare a U .
Seleziona qualsiasi vettore non parallelo a U . Una scelta conveniente è un vettore base, come X =(1, 0, 0).
Calcola il prodotto incrociato:W =X × U =(0, 1, 4) quando U =(10, 4, –1).
Conferma la perpendicolarità:W · U =0·10 + 1·4 + 4·(–1) =0. Utilizzando diversi vettori non paralleli come (0, 1, 0) o (0, 0, 1) si produrranno altri vettori perpendicolari, tutti giacenti nel piano definito da 10v1 +4v2 – v3 =0.
