La tangente è una delle funzioni trigonometriche fondamentali, insieme al seno e al coseno. Collega gli angoli di un triangolo ai rapporti tra i suoi lati ed è indispensabile in campi che vanno dall'ingegneria alla fisica. In questa guida esamineremo la classica definizione di triangolo rettangolo, ne illustreremo l'utilizzo con un semplice esempio e poi mostreremo come lo stesso valore può essere derivato da altre funzioni trigonometriche e calcolato utilizzando un'espansione in serie di potenze.
Etichetta il triangolo rettangolo in modo che le relazioni siano chiare. Posiziona l'angolo retto al vertice C, rendendo l'ipotenusa opposta a questo angolo. Sia l'angolo acuto di interesse θ nel vertice A. Il lato adiacente a θ è etichettato b, e il lato opposto a θ è etichettato a. I due cateti (aeb) insieme all'ipotenusa formano il triangolo completo.
Per definizione, la tangente di un angolo è il rapporto tra la lunghezza del lato opposto all'angolo e la lunghezza del lato adiacente all'angolo:
\[\tan\theta =\frac{a}{b}\]
Consideriamo un triangolo rettangolo isoscele con i cateti uguali:a=b. Qui, \(\tan\theta =1\). Poiché entrambi gli angoli acuti sono 45°, confermiamo che \(\tan45^{\circ}=1\).
Poiché \(\sin\theta =\frac{a}{h}\) e \(\cos\theta =\frac{b}{h}\), dividendo i due si ottiene:\[\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\]
Per una maggiore precisione o angoli non interi, utilizzare la serie di Maclaurin:\[\sin x =x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\]\[\cos x =1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots\]Allora\[\tan x =\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots}{1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots}\]
Troncare la serie con la precisione desiderata; per la maggior parte degli scopi pratici sono sufficienti pochi termini.
