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In matematica, il reciproco di un numero è il valore che, moltiplicato per l'originale, dà 1. Ad esempio, il reciproco della variabile x è \frac{1}{x} perché x \times \frac{1}{x} =\frac{x}{x} =1 .
In trigonometria, i due angoli non retti di un triangolo rettangolo possono essere espressi con i familiari rapporti seno, coseno e tangente. Estendendo questo concetto, i matematici definiscono i rapporti reciproci:cosecante (csc), secante (sec) e cotangente (cot). Questi sono rispettivamente i reciproci di seno, coseno e tangente.
Considera un triangolo rettangolo con un angolo acuto θ . Sia il lato opposto θ essere b , il lato adiacente sia a e l'ipotenusa sia r . I principali rapporti trigonometrici sono:
\(\text{seno }θ =\sin θ =\frac{b}{r}\)
\(\text{coseno }θ =\cos θ =\frac{a}{r}\)
\(\text{tangente }θ =\tan θ =\frac{b}{a}\)
Per definizione, il reciproco di ciascun rapporto è il valore che moltiplica fino a 1. Quindi definiamo:
\(\text{cosecante }θ =\csc θ =\frac{1}{\sin θ} =\frac{r}{b}\)
\(\text{secante }θ =\sec θ =\frac{1}{\cos θ} =\frac{r}{a}\)
\(\text{cotangente }θ =\cot θ =\frac{1}{\tan θ} =\frac{a}{b}\)
Queste identità reciproche soddisfano le seguenti relazioni fondamentali per qualsiasi angolo θ :
\(\sinθ \times \cscθ =1\)
\(\cos θ \times \sec θ =1\)
\(\tan θ \times \cot θ =1\)
Conoscere seno e coseno ci permette di ricavare la tangente tramite l'identità quoziente:
\(\frac{\sinθ}{\cosθ} =\tanθ\)
\(\frac{\cos θ}{\sin θ} =\cot θ\)
L'identità pitagorica deriva dalla relazione del triangolo rettangolo a ² + b ² =r ². Riorganizzando e sostituendo i rapporti seno e coseno si ottiene:
\(\sin^2θ + \cos^2θ =1\)
Inserendo le identità reciproche in questa espressione si ottengono altre due relazioni essenziali:
\(\tan^2θ + 1 =\sec^2θ\)
\(\culla^2 θ + 1 =\csc^2 θ\)
Queste identità costituiscono la spina dorsale di molte prove e applicazioni trigonometriche, dalla geometria semplice ai calcoli ingegneristici avanzati.
