(Phys.org)—Qualsiasi numero può, in teoria, essere scritto come prodotto di numeri primi. Per piccoli numeri, questo è facile (ad esempio, i fattori primi di 12 sono 2, 2, e 3), ma per grandi numeri, la scomposizione in fattori primi diventa estremamente difficile, così difficile che molti degli algoritmi di crittografia odierni si affidano alla complessità della scomposizione in fattori primi di numeri con centinaia di cifre per proteggere le informazioni private.

Però, nessuno è esattamente sicuro di quanto sia difficile scomporre numeri molto grandi nei loro fattori primi. Questa domanda, chiamato problema di fattorizzazione, è uno dei più grandi problemi irrisolti dell'informatica, nonostante l'uso di strategie matematiche e informatiche avanzate nel tentativo di risolverlo.

Ora in un nuovo studio pubblicato su Lettere di revisione fisica , i ricercatori Jose Luis Rosales e Vicente Martin dell'Università Tecnica di Madrid hanno adottato un approccio diverso al problema.

I ricercatori hanno dimostrato che l'aritmetica utilizzata per scomporre i numeri nei loro fattori primi può essere tradotta nella fisica di un dispositivo - un "simulatore quantistico" - che imita fisicamente l'aritmetica piuttosto che cercare di calcolare direttamente una soluzione come fa un computer.

Sebbene i ricercatori non abbiano ancora costruito un simulatore quantistico, mostrano che i fattori primi dei grandi numeri corrisponderebbero ai valori energetici del simulatore. La misurazione dei valori energetici fornirebbe quindi le soluzioni a un dato problema di fattorizzazione, suggerendo che scomporre grandi numeri in numeri primi potrebbe non essere così difficile come si pensa attualmente.

"Il lavoro apre una nuova strada per fattorizzare i numeri, ma non sappiamo ancora del suo potere, "Rosales ha detto Phys.org . "È molto sorprendente trovare un modo completamente nuovo di fattorizzare che provenga direttamente dalla fisica quantistica. Non dimostra che fattorizzare i numeri sia facile, ma trovare nuovi modi per fattorizzare certamente non aumenta la forza degli algoritmi basati sulla sua presunta complessità."

Per adesso, i ricercatori non conoscono la complessità tecnica della costruzione di un tale dispositivo, o se sarebbe anche possibile fattorizzare numeri molto grandi.

"Abbiamo dimostrato che esiste un simulatore quantistico in grado di fattorizzare i numeri e, in linea di principio, potrebbe essere costruito, " ha detto Martin. "Resta da vedere se il simulatore è fattibile con la tecnologia attuale in modo da poter fattorizzare numeri della stessa dimensione di quelli utilizzati nella crittografia, ma il viale ora è aperto. La prospettiva di costruire un dispositivo del genere prima che venga costruito un computer quantistico è qualcosa su cui riflettere seriamente".

Verso una teoria quantistica dei numeri

Oltre al potenziale per applicazioni pratiche, i risultati sono interessanti anche a un livello più fondamentale.

"Secondo noi, i contributi dell'articolo hanno due facce:nella matematica pura e nella crittografia applicata, " ha detto Rosali.

Uno degli aspetti matematicamente più interessanti del nuovo lavoro è che si tratta di ridefinire il problema della fattorizzazione introducendo una nuova funzione aritmetica che potrebbe poi essere mappata sulla fisica del simulatore quantistico e corrispondere ai valori di energia. In un senso, i ricercatori stanno riscrivendo il problema di matematica in termini di fisica.

"Il manoscritto cerca di collegare la teoria dei numeri con la fisica quantistica, "Rosali ha detto, notando che i ricercatori hanno cercato di farlo per diversi decenni. "Oggi, con lo sviluppo dell'informazione e del calcolo quantistico e la scoperta dell'algoritmo di Shor, la connessione sembra più intrigante e importante che mai."

A lungo termine, questo tipo di indagine potrebbe in definitiva portare a una teoria quantistica dei numeri, una teoria dei numeri basata su sistemi quantistici fisici.

"Per sviluppare una teoria quantistica dei numeri, ciò di cui abbiamo bisogno è un sistema quantistico (almeno teorico) in grado di riprodurre i numeri primi, " Martin ha detto. "Nel giornale, la nostra opinione è stata quella di cercare di ottenere un sistema in grado di scomporre in fattori un numero nei suoi numeri primi. Il metodo è 'analogico' nel senso che non è come l'algoritmo di Shor, che è programmabile in un computer quantistico seguendo il modello gate. Anziché, è la misurazione di un sistema quantistico accuratamente impostato che fornisce la risposta.

"Per realizzare questo programma, dobbiamo prima escogitare una formulazione aritmetica del problema della fattorizzazione che possa essere quantizzata. Dobbiamo trovare una funzione aritmetica, eventualmente imparentato con un hamiltoniano, e impostare il problema quanto-meccanico in modo tale che la sua soluzione corrisponda alla soluzione del problema di fattorizzazione. Nel lavoro siamo riusciti a realizzare queste idee. Abbiamo trovato la funzione aritmetica corretta, definito l'insieme di fattorizzazione per legare l'Hamiltoniana e ottenuto la soluzione del problema quanto-meccanico. Al meglio delle nostre conoscenze, questo non è stato raggiunto prima, anche se il nostro non è stato il primo tentativo.

"Come si fa sempre in fisica, validare i risultati, dobbiamo dimostrare le sue capacità predittive, quindi abbiamo fatto delle previsioni con loro:ottenuto un algoritmo di fattorizzazione completamente nuovo, senza alcuna somiglianza con nessun altro algoritmo di fattorizzazione che conosciamo, e controllò accuratamente le statistiche della soluzione rispetto al teorema dei numeri primi.

"I risultati ci hanno lasciato davvero sbalorditi. A dimostrarlo, nell'articolo mostriamo come lo spettro riproduce la funzione di conteggio dei primi ed è quasi identico a quello di Riemann. Questo è ottenuto come diretta conseguenza della teoria della meccanica quantistica e non ha controparti nella teoria dei numeri. Portando questo all'estremo, questa potrebbe anche essere considerata la fisica alla base dell'ipotesi di Riemann [uno dei più importanti problemi aperti nella teoria dei numeri] nel senso che l'Hamiltoniana è naturalmente limitata, senza ulteriori ipotesi».

I ricercatori spiegano che, in questo documento, hanno appena suggerito che i risultati hanno implicazioni matematiche più profonde, e hanno in programma di indagare ulteriormente su queste possibilità in futuro. Stanno anche esaminando cosa servirebbe per costruire un simulatore quantistico.

"Abbiamo una ricerca in corso sulla teoria della costruzione di un simulatore, " ha detto Rosales. "La prima impressione è incoraggiante, anche se nulla è ancora deciso".

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