Quando gli ingegneri progettano un nuovo aereo, effettuano gran parte dei test iniziali non su jet a grandezza naturale, ma su aeromodelli che sono stati ridimensionati per adattarsi all'interno di una galleria del vento. In questo contesto più gestibile, possono studiare il flusso d'aria intorno a un aereo in tutte le condizioni sperimentali.

Gli scienziati possono quindi applicare leggi di scala - relazioni matematiche di proporzionalità - per estrapolare come funzionerebbe un jet a grandezza naturale, in base al comportamento della sua controparte in miniatura.

Ora gli ingegneri del MIT hanno escogitato una legge di scala simile per descrivere come gli oggetti si muovono attraverso la sabbia. La legge di scala può essere utilizzata per prevedere come grandi camion e automobili attraversano questo materiale, basato su come le versioni giocattolo di quei veicoli attraversano una sandbox sperimentale contenente gli stessi grani.

Ken Kamrin, professore associato di ingegneria meccanica al MIT, afferma che la legge sulla scala può consentire un'ampia gamma di esperimenti su piccola scala per affinare la progettazione di veicoli su larga scala, come trattori più ottimizzati, bulldozer, e serbatoi. Potrebbe anche essere applicato per tradurre la locomozione di un veicolo sulla Terra nella navigazione di un rover su Marte, perché la relazione consente anche la scala della gravità.

"Sono entusiasta che questo possa essere un nuovo strumento che possiamo usare per progettare rover per Marte, " dice Kamrin. "Se avessimo un simulante del suolo marziano in laboratorio, potremmo fare esperimenti con una forma di ruota che vogliamo testare, e quindi utilizzare questa legge di scala per, con più precisione, essere in grado di dirti se quella ruota si sarebbe bloccata su Marte."

Kamrin ha pubblicato un articolo che descrive in dettaglio la legge sulla scala nella rivista Revisione fisica E . I suoi coautori sono l'ex studente laureato James Slonaker, ex studente universitario D. Carrington Motley, studente laureato Qiong Zhang, studente universitario Stephen Townsend, ex ricercatore Carmine Senatore, e il principale ricercatore Karl Iagnemma.

Dare la spina dorsale al ridimensionamento

Gli ingegneri aeronautici in genere utilizzano leggi di scala per, Per esempio, determinare la forza di sollevamento minima necessaria per mantenere in alto un jet di dimensioni normali, basato sulla stessa portanza minima per un aereo modello. Tali leggi di scala sono inizialmente derivate da equazioni basate sulla fisica che descrivono il modo in cui un fluido, come l'aria, si comporta.

"Il pensiero è, se è possibile identificare le scalature all'interno delle equazioni del flusso del fluido, possono essere usati come un modo immediato di tradurre tra risultati su piccola e grande scala, " dice Kamrin.

Il suo team ha cercato modi per derivare una legge di scala da equazioni comuni per il flusso granulare. Per prima cosa hanno cercato un insieme generalizzato di equazioni, nota come teoria della forza resistiva (RFT), che viene utilizzato per calcolare la forza resistiva su un oggetto che si muove attraverso un letto di granelli come la sabbia.

"RFT non prevederà come la sabbia si muove o distribuisce lo stress, " dice Kamrin. "Il suo unico scopo è di dire quanta forza è necessaria per muovere un oggetto di forma arbitraria, in una certa direzione, attraverso la sabbia."

I ricercatori hanno cercato di semplificare la formula RFT rendendo molti dei suoi input adimensionali, o senza unità.

"Questo alla fine ci consente di estrarre le relazioni di scala, " dice Kamrin. "Per esempio, "metri" non è una lunghezza naturale, è qualcosa che abbiamo inventato. Se ci liberiamo di tutte queste unità, ci resterà la carne, un po' di verità al sistema".

La squadra di Kamrin ha usato il teorema di Buckingham, la spina dorsale della scala matematica, per vagliare determinate variabili in RFT, come la lunghezza di una ruota, larghezza, e massa, in parametri adimensionali, semplificando così l'equazione complessiva. L'idea è che, derivando un'equazione che non dipende da determinate unità, quella stessa equazione può essere usata per produrre regole su come tradurre tra scale dello stesso sistema.

Dopo aver derivato una legge di scala da RFT, i ricercatori hanno cercato di vedere se potevano fare lo stesso con un'altra serie di equazioni di flusso granulari, un modello continuo basato sullo snervamento per attrito. Queste equazioni molto più dettagliate descrivono il flusso di sabbia e la forza che crea mentre spinge contro un oggetto intruso come una ruota. Anche per queste equazioni più complesse, il team ha scoperto che era in grado di derivare una legge di scala che corrispondeva a quella sviluppata dal modello RFT più semplice.

"Si scopre che entrambi hanno dato la stessa risposta, quindi abbiamo pensato che forse questa [legge di scala] funzionerà, " dice Kamrin.

Esami di guida

Per testare la legge di scala, Kamrin e i suoi colleghi hanno eseguito esperimenti nel laboratorio del Robotic Mobility Group del MIT, dove gli ingegneri hanno allestito un sistema di binari e pulegge che supporta una ruota motorizzata mentre attraversa un letto di sabbia sottostante. Il team di Kamrin ha utilizzato una stampante 3D per costruire versioni piccole e grandi di due diverse forme di ruote:un tipico design cilindrico e una ruota "a capocorda" con quattro bracci che si estendono da un cilindro centrale.

Le due forme sono state scelte per dimostrare due distinti comportamenti di guida, poiché le ruote cilindriche guidano dolcemente con un affondamento limitato, mentre le ruote ad alette scavano e rimuovono le sacche di sabbia mentre guidano.

I ricercatori hanno misurato le dimensioni di ogni ruota e le hanno caricate con quantità variabili di pesi, poi spinse ciascuna ruota attraverso il letto di sabbia una alla volta, notando la potenza e la velocità delle ruote piccole rispetto alle loro controparti più grandi.

Hanno eseguito 288 tali esperimenti, variando ogni volta le dimensioni della ruota, velocità di rotazione, e masse. Hanno quindi usato la loro legge di scala per vedere se potevano prevedere la velocità e la potenza delle grandi ruote, in base alle prestazioni delle loro versioni più piccole.

"I nostri dati hanno seguito le previsioni, " dice Kamrin. "I piccoli test hanno predetto i grandi test, in misura quantitativa. Abbiamo convalidato molte volte l'accuratezza della legge di scala".

Andando avanti, il team afferma che la sua legge di scala può essere utilizzata per progettare veicoli in grado di navigare meglio su terreni sabbiosi.

"Pensa ai bulldozer, escavatori, tutte queste cose che hanno bisogno di manipolare e spostare materiale granulare in giro, " dice Kamrin. "Questi non sono davvero ottimizzati. Molte attrezzature utilizzate nell'industria si basano su regole empiriche, ma risultati come questo potrebbero fornire un nuovo tipo di strumento per aiutare a individuare i migliori progetti".

Questa storia è stata ripubblicata per gentile concessione di MIT News (web.mit.edu/newsoffice/), un popolare sito che copre notizie sulla ricerca del MIT, innovazione e didattica.