Diversamente da un triangolo equilatero con i suoi tre lati e angoli uguali, uno isoscele con i suoi due lati uguali o un triangolo rettangolo con un angolo di 90 gradi, un triangolo scaleno ha tre lati di lunghezza casuale e tre angoli casuali. Se vuoi conoscere la sua area, devi fare un paio di misure. Se è possibile misurare la lunghezza di un lato e la distanza perpendicolare di quel lato all'angolo opposto, si dispone di informazioni sufficienti per calcolare l'area. È anche possibile calcolare l'area se si conoscono le lunghezze di tutti e tre i lati. Determinare il valore di uno degli angoli e le lunghezze dei due lati che lo formano consente anche di calcolare l'area.

TL; DR (troppo lungo, non letto)

L'area di un triangolo scaleno con base b e altezza h è data da 1/2 bh. Se conosci la lunghezza di tutti e tre i lati, puoi calcolare l'area usando la formula di Heron senza dover trovare l'altezza. Se conosci il valore di un angolo e le lunghezze dei due lati che lo formano, puoi trovare la lunghezza del terzo lato usando la Legge dei Coseni e poi usare la Formula di Heron per calcolare l'area.

Formula Generale per trovare l'area

Considera un triangolo casuale. È possibile tracciare attorno ad esso un rettangolo che usa come base uno dei lati (non importa quale) e tocca appena l'apice della terza angolazione. La lunghezza di questo rettangolo è uguale alla lunghezza del lato del triangolo che lo forma, che è chiamato la base (b). La sua larghezza è uguale alla distanza perpendicolare dalla base all'apice, che è chiamata altezza (h) del triangolo.

L'area del rettangolo appena disegnata equivale a b ⋅ h. Tuttavia, se esaminate le linee del triangolo, vedrete che dividono esattamente la metà dei rettangoli creati dalla linea perpendicolare dalla base all'apice. Pertanto, l'area all'interno del triangolo è esattamente la metà di quella esterna o 1/2 bh. Per ogni triangolo:

Area = 1/2 base ⋅ altezza

Formula dell'airone

I matematici hanno saputo calcolare l'area di un triangolo con tre lati noti da millenni. Usano la Formula di Heron, dal nome di Hero of Alexandria. Per usare questa formula, devi prima trovare il mezzo perimetro (i) del triangolo, che fai aggiungendo tutti e tre i lati e dividendo il risultato per due. Per un triangolo con lati a, b e c, il mezzo perimetro s = 1/2 (a + b + c). Una volta che conosci s, calcoli l'area usando questa formula:

Area = radice quadrata [s (s - a) (s - b) (s - c)]

Usando la legge di Coseni

Considera un triangolo con tre angoli A, B e C. Le lunghezze dei tre lati sono a, b e c. Il lato a è opposto all'angolo A, il lato b è opposto all'angolo B, e il lato c è opposto all'angolo C. Se si conosce uno degli angoli - ad esempio, l'angolo C - e i due lati che lo formano - in questo caso, a e b - puoi calcolare la lunghezza del terzo lato usando questa formula:

c ^{2 = a 2 + b 2 - 2ab cos (C)}

Una volta che conosci il valore di c, puoi calcolare l'area usando la Formula di Heron.