In un nuovo studio, gli scienziati hanno studiato l’ipotesi pervasiva di basso rango nei sistemi complessi, dimostrando che, nonostante le dinamiche non lineari ad alta dimensione, molte reti reali mostrano valori singolari rapidamente decrescenti, supportando la fattibilità di un’efficace riduzione delle dimensioni per comprendere e modellare i comportamenti dei sistemi complessi .
I risultati dello studio sono pubblicati su Nature Physics .
I sistemi complessi si riferiscono a strutture o processi complessi e interconnessi caratterizzati da numerosi componenti con interazioni non lineari, rendendo il loro comportamento difficile da prevedere dalle proprietà delle singole parti.
Gli esempi includono ecosistemi, reti neurali e strutture sociali, dove le interazioni collettive portano a fenomeni emergenti e all’auto-organizzazione. Comprendere i sistemi complessi implica studiare modelli, cicli di feedback e comportamenti dinamici su varie scale, contribuendo alla fisica, alla biologia, alla sociologia e alla scienza delle reti.
I sistemi complessi spesso pongono sfide nella comprensione del loro comportamento su larga scala a causa delle dinamiche non lineari ad alta dimensione coinvolte. Ora, gli scienziati guidati da Vincent Thibeault, un Ph.D. studente presso l'Université Laval in Québec, Canada, mirano ad affrontare questa sfida esplorando la semplicità intrinseca dei sistemi complessi e trovando una dimensione ottimale per semplificare i modelli.
"Leggendo un ampio spettro di articoli sull'argomento, dalla scienza delle reti alle neuroscienze, Patrick e io siamo arrivati a un punto in cui era evidente che veniva fatta un'ipotesi di basso rango sulla matrice utilizzata per descrivere le reti reali e le interazioni in molti sistemi dinamici non lineari ad alta dimensione."
"Con Antoine nel nostro team, che ha dedicato diversi anni al progresso della scienza delle reti, eravamo sicuri di poter approfondire questa ricerca", ha detto Thibeault a Phys.org.
Il cervello è un sistema complesso con diversi elementi interagenti, che in questo caso sono i neuroni. I neuroni comunicano tra loro attraverso segnali elettrici noti come potenziali d'azione.
Quando gruppi di neuroni sincronizzano la loro attivazione, possono migliorare l’efficienza dell’elaborazione e della trasmissione delle informazioni. Questa attività sincronizzata è un fenomeno emergente dovuto ai fenomeni collettivi delle parti e può alterare le loro funzioni, portando a condizioni come l'epilessia.
"Nonostante questa elevata dimensionalità, l'intricata rete di interazioni presenta dimensioni effettive basse. Ciò implica che solo poche variabili (o osservabili) ben scelte possono essere sufficienti per descrivere le proprietà macroscopiche emergenti dei sistemi complessi."
"Tuttavia, bisogna stare molto attenti quando si sceglie la dimensione per descrivere questi sistemi, poiché si possono perdere le proprietà salienti del sistema e persino creare nuovi tipi di interazioni", ha spiegato Thibeault.
I ricercatori hanno cercato di convalidare questa ipotesi di basso rango, con l'obiettivo di trovare una dimensione ottimale per la riduzione della dimensionalità. Volevano capire se la dinamica dei sistemi complessi ad alta dimensionalità dipende dal comportamento di matrici di rango basso e se questa ipotesi vale per un'ampia gamma di reti.
I ricercatori hanno utilizzato un potente strumento matematico per testare la loro ipotesi di basso rango, la decomposizione in valori singolari (SVD). SVD è una tecnica dell'algebra lineare che scompone una matrice in tre componenti essenziali.
I vettori singolari di sinistra (U) descrivono come i componenti del sistema si relazionano tra loro. I valori singolari (Σ) indicano l'importanza di ciascun componente e i vettori singolari di destra (V) catturano il modo in cui ciascun componente influenza il sistema complessivo.
Nell'applicare SVD alle matrici dei pesi delle reti, i ricercatori si sono concentrati sulla comprensione del comportamento dei valori singolari. Hanno osservato una rapida diminuzione di questi valori singolari durante l'analisi delle reti reali, fornendo prove empiriche per l'ipotesi di basso rango.
Questa analisi ha permesso loro di convalidare l'ipotesi di basso rango, confermando che la dinamica dei sistemi complessi ad alta dimensione può essere effettivamente ridotta a una dimensione inferiore, fornendo approfondimenti sulla dimensionalità ottimale per semplificare i modelli e comprendere le proprietà macroscopiche emergenti.
Oltre a convalidare l'ipotesi di basso rango attraverso la rapida diminuzione dei valori singolari, i ricercatori hanno anche scoperto che questa analisi ha permesso loro di quantificare il rango effettivo delle reti.
Le misurazioni efficaci del rango, come il rango stabile, hanno fornito indicatori quantitativi a supporto dell’ipotesi di rango basso. Ciò ha ulteriormente rafforzato la comprensione che, nonostante la natura intricata e altamente dimensionale dei sistemi complessi, i loro comportamenti possono effettivamente essere catturati accuratamente con un numero di dimensioni significativamente inferiore, offrendo una rappresentazione più gestibile e approfondita per scopi di indagine scientifica e modellazione.
"L'origine delle interazioni di ordine superiore non era nemmeno un argomento a cui avevamo pensato inizialmente nel nostro processo di ricerca. Infatti, dopo aver verificato l'ipotesi di basso rango, eravamo solo preoccupati di trovare un metodo ottimale di riduzione delle dimensioni", ha osservato Thibeault .
I ricercatori sono andati oltre e si sono avventurati nella complessità delle reti nel mondo reale.
L'esame sperimentale, comprese le indagini sul connettoma della Drosophila melanogaster, ha prodotto prove empiriche confermando il rapido decadimento dei valori singolari.
Un connettoma è la mappa completa delle connessioni neurali nel D. melanogaster, una specie di mosca della frutta. Questa verifica tangibile trascende i quadri teorici, affermando l'applicabilità dell'ipotesi di basso rango nei sistemi complessi.
Thibeault ha sottolineato il significato di queste intuizioni empiriche, affermando:"Queste capacità sono vitali in campi come l'ecologia, l'epidemiologia e le neuroscienze, dove fare previsioni informate ed esercitare un certo livello di controllo sono obiettivi chiave, anche in base a forti ipotesi semplificatrici".>
"Identificare i limiti dei nostri modelli matematici (come grafici casuali e sistemi dinamici) per descrivere i fenomeni naturali è quindi un compito fondamentale per il modellatore, e stabilire l'ubiquità dell'ipotesi di basso rango è parte di questo sforzo per i sistemi complessi."
Guardando al futuro, i ricercatori immaginano un'esplorazione delle origini delle rapide diminuzioni del valore singolare nelle reti reali, anticipando preziose informazioni sulla resilienza dei sistemi adattivi complessi.
Thibeault ha spiegato:"I sistemi complessi sono sistemi intrinsecamente adattivi, con la rete di interazioni e le dinamiche del sistema che si evolvono in base al suo ambiente e al comportamento intrinseco."
"I modelli che descrivono tale adattamento sono molto più complessi, rendendo la riduzione delle dimensioni uno strumento essenziale per ottenere informazioni dettagliate sulle funzioni e sulla resilienza del sistema. In futuro prevediamo di indagare e discutere a fondo le implicazioni delle nostre osservazioni su sistemi adattivi complessi.
Jianxi Gao ha pubblicato un articolo News &Views nello stesso numero della rivista sul lavoro del team di Thibeault.
Ulteriori informazioni: Vincent Thibeault et al, L'ipotesi di basso rango dei sistemi complessi, Fisica naturale (2024). DOI:10.1038/s41567-023-02303-0
Jianxi Gao, Semplicità intrinseca dei sistemi complessi, Fisica naturale (2024). DOI:10.1038/s41567-023-02268-0
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